СПбАО 2024, II кръг (очен), 10. клас — Задача 1

• • 98 и 81 масс Юпитера
• • M или позже (почти что бурые карлики)
• • 1.3 млн. км
• • 67 °

Из предложенного графика мы сразу можем найти две величины: $P = 0.71$ суток — орбитальный период двойной звезды (неожиданно малый, не характерный для двойных звезд), а также $v_0$ — лучевую скорость системы как целого (равную $+6.6$ км/с). Благодаря проведенным дугам синусоид можно определить амплитуды наблюдаемых лучевых скоростей компонент. Более массивная звезда движется медленнее (ее амплитуда равна $K_1 = 23.7$ км/с), более легкая — быстрее ($K_2 = 28.4$ км/с). Заметим, что использование просто максимальных значений скорости, снимаемых напрямую из графика (30.3 км/с и 35 км/с) является ошибкой.

Синусоиды выглядят практически неискаженно, так что эксцентриситет орбиты можно считать равным нулю (а орбиту, соответственно, круговой).

Фактически величины $K_1$ и $K_2$ не являются реальными орбитальными скоростями компонент, так как орбиты может быть наклонена к лучу зрения (обычно принято искать угол $i$ между нормалью к плоскости орбиты и лучом зрения), поэтому найденные величины — это истинные круговые скорости $v_1$ и $v_2$ относительно центра масс системы, исправленные за этот наклон:

В самом деле, если бы мы наблюдали систему «плашмя» ($i = 0^{\circ}$), то лучевая скорость любого из компонент равнялась бы нулю всегда.

Теперь построим модель двойной системы. Пусть радиусы орбит компонент вокруг центра масс равны $r_1$ и $r_2$ (более массивный компонент имеет индекс 1), причем их сумма — это расстояние между компонентами:

Радиусы и массы компонент связаны «правилом рычага»

где $M_i$ — массы компонент. Осталось связать наблюдаемую скорость с параметрами орбиты:

Воспользуемся также законом сохранения импульса (точнее, утверждением, что импульс системы в барицентрической системе отсчета равен нулю):

Как видим, это позволило вычислить отношение масс компаньонов $q = M_2/M_1 \leqslant 1$.

Если выразить, например, $r_2$ через $a$ и $r_1$, а потом подставить это в правило рычага, чтобы выразить $r_1$, и затем подставить это в формулу для скорости $V_1$, то получим такое выражение:

Наконец, для системы верен III закон Кеплера

где $G$ — гравитационная постоянная. Подставим в него большую полуось, выраженную через период $P$, наблюдаемую скорость первой компоненты $V_1$ и массы компонент

Тем самым мы получили так называемую функцию масс (причем использовали при этом общепринятые обозначения):

Данное выражение имеет размерность массы и позволяет по наблюдениям лучевой скорости одной компоненты двойной системы оценить величину массы другой. Заметим следующее: если разделить левую и среднюю части полученного выражения на $M_2$, то

Ясно, что масса второй компоненты всегда меньше, чем сумма масс обеих компонент, синус угла также не больше единицы, а это означает, что $f(M_2) \leqslant M_2$, то есть функция масс всегда оценивает снизу массу компонент двойной звезды (автор задачи очень рекомендует ознакомиться с книгой В.М. Липунова «В мире двойных звезд», где смысл и использование функции масс подробно обсуждаются).

В нашем случае имеются значения $K_1$ и $K_2$, что позволяет найти нижние оценки масс обеих компонент (здесь и далее везде используется система единиц СИ, если не указано иное):

Таким образом, из орбитальных данных мы получили, что массы исследуемых звезд не меньше, чем несколько масс Юпитера ($M_{♃} = 2 \times 10^{27}$ кг).

Теперь воспользуемся остальной информацией о звездах. Уширение спектральной линии CO может быть вызвано двумя причинами: тепловым уширением (из-за тепловых движений молекул в фотосфере) и вращением каждой из звезд вокруг оси. Поскольку в спектре звезд в принципе присутствуют линии молекул, то сразу можно сказать, что температуры звезд не превышают 5000 K (это характерная температура для звезд спектрального класса K, в фотосферах которых еще можно обнаружить молекулы). Запишем выражение для эффекта Доплера для второй звезды:

Здесь $\Delta\lambda_2$ — полуширина спектральной линии более быстрой и легкой звезды, $V_{*2}$ — лучевая скорость источника, $c$ — скорость света. Оценим тепловую скорость $v_T$ молекул CO в фотосфере звезд при максимально возможной их температуре:

Здесь $k$ — постоянная Больцмана, $T = 5 \times 10^3$ K — абсолютная температура фотосферы, $m = 12 + 16$ а.е.м — масса одной молекулы C–O. Если мы примем величину скорости 4.4 км/с равной тепловой, то получим явно неадекватную оценку температуры фотосферы $\geqslant 10^4$ K. Далее будем считать, что обе звезды имеют одинаковую температуру и дают идентичный вклад тепловой скорости в уширение своих линий.

Ввиду малого периода обращения пары звезд и их небольшой оценке масс снизу, можно уверенно сказать, что период одного оборота вокруг своей оси каждой звезды равен периоду обращения компонент друг вокруг друга. Данная синхронизация определяется приливным взаимодействием.

С учетом наклона оси вращения каждой из звезд к лучу зрения (то есть того же самого угла $i$, введенного выше), можно записать:

Здесь $R_j$ — радиусы компаньонов. Итак, мы получили оценку снизу на размер каждого из компаньонов (реализующуюся в случае если $i = 90^{\circ}$). Поскольку период вращения звезд вокруг своей оси не слишком мал (и того же порядка, как у Земли), а радиусы звезд всего в 4 раза больше земного, то можно считать, что столь большое ускорение свободного падения ($10^{3.5} \gg 10$ [м/с$^2$]) определяется исключительно гравитацией, а центробежное ускорение, вызванное вращением, можно не учитывать:

Таким образом получена еще одна оценка снизу на массы компаньонов: масса легкого компонента не менее $\sim 0.012 M_{\odot}$, а масса тяжелого — $0.015 M_{\odot}$ ($12 M_{♃}$ и $15 M_{♃}$ соответственно).

Теперь отметим, что у нас есть две разных оценки масс, обе они зависят от угла $i$, но с разными степенями синуса. Поэтому отсюда можно получить угол наклона нормали орбиты к лучу зрения:

Мы получили практически одинаковые синусы углов наклона для каждого из компонентов, что говорит о верности использованных приближений. Отличие объясняется неточностью $\Delta\lambda$, приближенностью вычислений и, скорее всего, завышенной оценкой температуры звезд. Тогда угол наклона можно считать равным $i \approx 23^{\circ}$. Зная его, находим массы компаньонов по отдельности (в массах Юпитера и массах Земли):

Теперь можно найти и большую полуось орбиты из третьего закона Кеплера (сравнивая систему с системой Луна–Земля). Период обращения Луны 27.3 суток, расстояние до Луны — 384 тыс. км, массы — в массах Земли:

Подытожим результаты:

• массы компонент 98 и 81 масс Юпитера;
• спектральный класс звезд — M или позже (почти что бурые карлики);
• расстояние между компонентами примерно в 3 раза больше расстояния от Земли до Луны: 1.3 миллиона километров;
• угол наклона орбиты к лучу зрения $90^{\circ} - i = 67^{\circ}$.

Отметим, что данная система реальная и была детально исследована в статье Chih-Chun Hsu et al., ApJL, 945, L6, 2023.

В.В.Григорьев