СПбАО 2026, II кръг (очен), 10. клас, файл 10theo.pdf — Задача 5

• 71 °

  Максимальная высота центра Луны в верхней кульминации во время полного лунного затмения при заданных условиях.

Юпитер находится в квадратуре, значит угол между линией «Солнце–Земля» и «Земля–Юпитер» равен $90^{\circ}$. При этом, Юпитер восходит над горизонтом, значит, квадратура западная, а это означает, что Солнце четверть года назад находилось в той же точке, где сейчас Юпитер. Он располагается в созвездии Девы, где находится точка осеннего равноденствия. Следовательно, действие задачи происходит в окрестностях зимнего солнцестояния, где склонение Солнца минимально. Коль скоро в эту ночь случилось полное лунное затмение, то Луна находится вблизи противоположной к Солнцу точки эклиптики.

Далее будем рассуждать следующим образом. Нас просят найти максимально возможную высоту центра Луны над горизонтом. Точка наибольшей высоты в течение суток — верхняя кульминация, высота в ней равна $h = 90^{\circ}-\varphi+\delta$, где $\delta$ — склонение центра Луны. При этом, так как происходит затмение и Луна находится напротив Солнца относительно Земли, а склонение Солнца находится в окрестностях минимального, то склонение Луны лежит в окрестности максимального, если пренебрегать наклоном к эклиптике. По условию задачи Юпитер находится в Деве, в которой расположена точка осеннего равноденствия. Таким образом, условием задачи не запрещена ситуация, когда Юпитер попадает ровно в эту точку. Тогда его восход соответствует истинной солнечной полночи, в которой как раз и реализуется ситуация верхней кульминации Луны при максимально возможном склонении. Тут можно было бы написать, что ответ получается, если подставить максимально возможное склонение Луны в течение года, которое равно $23^{\circ}26'+5^{\circ}09'$, но будем аккуратны. Вспомним, что происходит полное лунное затмение, то есть разница склонения Луны и $23^{\circ}26'$ ограничена, вообще говоря, радиусом земной тени.

Найдем радиус тени Земли на орбите Луны. Из рисунка (не в масштабе) видно, что на расстоянии $x$ от Земли

где $R_\oplus$ — радиус Земли, $R_\odot$ — радиус Солнца, а $a$ — большая полуось земной орбиты.

Так как очевидно, что $x+l\ll a$, то можно считать, что

где $\theta_\odot$ — угловой радиус Солнца с Земли в радианах (этот угол мал).

Путам несложных преобразований получаем

С расстояния, равного радиусу орбиты Луны $r$, угловой радиус тени (тоже малый угол) для земного наблюдателя в радианах будет равен

Известно, что Земля примерно в 4 раза больше Луны по размеру, а Солнце при наблюдении с Земли практически одного углового размера с Луной, поэтому грубо угловой радиус тени будет равен 3 угловым радиусам Луны (если помнить радиусы Земли и Луны или их соотношение более точно, то можно получить, что угловой радиус земной тени будет равен примерно 2.7 углового радиуса Луны).

Угловой размер тени Земли максимален в точке перицентра орбиты Луны. При этом угловой радиус Луны там составляет $\theta\approx 17'$. Тогда максимальное склонение центра Луны равно $\delta=23^{\circ}26'+3\cdot\theta-\theta=23^{\circ}26'+2\cdot17'=24^{\circ}$.

Теперь вычисляем высоту в кульминации: $h=90^{\circ}-\varphi+\delta=90^{\circ}-43^{\circ}35'+24^{\circ}\approx70^{\circ}.5$.

Осталось сделать последний шаг. На высоту Луны в затмении будет влиять также суточный параллакс. Как известно, горизонтальный экваториальный суточный параллакс Луны равен примерно $1^{\circ}$, на зенитном расстоянии около $z=20^{\circ}$ это значение нужно будет умножить на $\sin z$, то есть примерно на 0.3, а на широте $\varphi$ — еще и на $\cos\varphi\approx0.7$. Тем самым итоговый результат составит $70^{\circ}.7\approx71^{\circ}$.