СПбАО 2026, II кръг (очен), 7–8 клас, файл 78theo.pdf — Задача 1

• В году всегда бывает хотя бы один такой день, максимально — три. Минимальный промежуток между двумя последовательными — 28 дней, максимальный — 273 дня.

Очевидно, что минимальный промежуток не может быть меньше месяца, так как в любом календарном месяце лишь одно 13-е число. Тогда возможный минимальный промежуток будет равен одному месяцу, а точнее — 28 дням. Действительно, если в год невисокосный (в феврале 28 дней), и 13-е февраля стало пятницей, то через 28 дней наступит 13-е марта, и оно также будет пятницей, например, как в текущем 2026 году.

Сделаем краткую схему календаря на текущий год (можно и на любой другой):

• 13 января — вторник (0-вой день недели в условный год)
• 13 февраля — пятница (сдвиг $+3$ дня)
• 13 марта — пятница ($+3$; сдвиг $+4$ в високосный год)
• 13 апреля — понедельник ($+6$; 0)
• 13 мая — среда ($+1$; $+2$)
• 13 июня — суббота ($+4$; $+5$)
• 13 июля — понедельник ($+6$; 0)
• 13 августа — четверг ($+2$; $+3$)
• 13 сентября — воскресенье ($+5$; $+6$)
• 13 октября — вторник (0; $+1$)
• 13 ноября — пятница ($+3$; $+4$)
• 13 декабря — воскресенье ($+5$; $+6$)

Заметим следующее: в невисокосном году январь и октябрь, февраль, март и ноябрь, сентябрь и декабрь совпадают по дням недели в пределах короткого месяца. То есть если 13 января выпало на пятницу, то и 13 октября тоже будет пятницей. Получаем и частичный ответ на первый вопрос: существует год с тремя такими датами, и с двумя.

Отсюда следует, что вариант 13 января — 13 октября может быть потенциальным интересным нам промежутком, так как между ними пятница, 13-ое не встретится, иначе совпали бы и остальные дни. Между этими днями

Так было, например, в 2023 году. Пара февраль–ноябрь нас не устроит, т.к. между ними встречается март. Пара март–ноябрь, очевидно, даст промежуток на месяц меньше, чем январь–октябрь.

Рассмотрим високосные года аналогичным образом. В них январь совпадет по дням недели с апрелем и июлем, февраль — с августом, март — с ноябрем, сентябрь — с декабрем.

Из полученных пар мы уже рассмотрели март–ноябрь, а остальные тем более короче. По числу пятниц, 13-ое получаем те же два или три дня.

Может ли промежуток больше? Формально, если в год выпала лишь одна пятница, 13-ое (например, в мае или июне — в месяцы, уникальные по набору дней недели в году), то мы не ведем речь про промежуток в пределах одного календарного года.

Остается выяснить, может ли быть такое, что в году не будет ни одной пятницы, 13-ое. По представленной выше схеме и в високосный, и в невисокосный год, всегда найдется такая дата.

Сформулируем окончательный ответ на задачу. В году всегда бывает хотя бы один самый несчастливый день. Максимально их может встретиться три. Минимальный промежуток между двумя последовательными — 28 дней. Максимальный — 273 дня.

В.В.Григорьев