Съдържание

Струве 2024, Заключителен етап, 8. клас — Задача 6. Все ходы записаны

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Струве 2024

III Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. 8 класс · 10 т.

Исходное издание

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике. Методическая комиссия Олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве. III Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. Задания, решения и критерии оценивания. Методическое пособие. Москва,2024.

Авторство архивного ключа

УДК 52(076.1). ББК 22.6.

III Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. Задания, решения и критерии оценивания : методическое пособие / Под ред. И. А. Утешева, А. В. Веселовой — М.: 2024. — 40 с.

Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве проводится для учащихся 7–8-х классов как дополнение к Всероссийской олимпиаде школьников по астрономии, в последних этапах которой принимают участие 9–11-классники. Олимпиада проводится для популяризации астрономии и других естественных наук, а также для выявления на раннем этапе способных и талантливых учащихся и их привлечения к систематическим занятиям астрономией.

Заключительный этап III олимпиады состоялся 16–17 мая 2024 года в распределённом формате в 53 регионах России от Камчатского края до Калининградской области.

Комплект заданий подготовлен методической комиссией олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве. struve.astroedu.ru • struve@astroedu.ru

Авторы-составители:

Веселова А. В., СПбГУ (Санкт-Петербург)
Волобуева М. И., ПФМЛ №239 (Санкт-Петербург)
Игнатьев В. Б., лицей №5, ФТЛ (Долгопрудный)
Утешев И. А., МФТИ, ЦПМ (Москва)
Шамбин А. И., АГУ (Республика Адыгея)

Редакторы: Утешев И. А. — письменный тур; Веселова А. В. — онлайн-тур.

Рецензенты: Эскин Б. Б., СПбГУ (Санкт-Петербург); Раменский М. С., НИУ ВШЭ, ЦПМ (Москва).

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике выражает благодарность Министерству просвещения Российской Федерации и Московскому физико-техническому институту за поддержку инициативы по организации олимпиады, а также всех причастных к её проведению, в особенности членов жюри заключительного этапа олимпиады 2024 года: Автаеву А. А., Акметдинова Р. Р., Безбородову И. Н., Беспятого И. В., Венгерскую А. С., Веселову А. В., Голубеву О. Ю., Горбунова Н. А., Игнатьева В. Б., Костину М. В., Леденева Е. И., Орлова И. О., Русакова С. А., Утешева И. А., Шамбина А. И., Шишкину А. Ф.

Письменный тур и принципы оценивания

На письменном туре участникам предложены 6 задач, на выполнение которых отводилось 3 часа 55 минут. Каждая задача предполагает представление развёрнутого письменного решения. Похожие задачи для разных классов имеют одинаковые названия, но разное содержание.

Решение каждого задания оценивается из 10 баллов. Максимальная оценка за тур — 60 баллов.

Принципы оценивания олимпиадных работ

Правильное решение оценивается полным баллом, при этом оно не обязано повторять авторское буквально или логически. Частично верное или совершенно неверное решение оценивается соответственно частичным баллом или нулём.
Решение участника разбивается на логические элементы (шаги). Каждый из шагов оценивается независимо в соответствии с критериями, приведёнными после авторского решения задачи. Оценка за задачу равна сумме оценок за каждый из критериев. За каждый из критериев выставляется целая неотрицательная оценка. Если критерием предусмотрен штраф, он применяется к полной оценке за критерий; штрафы в пределах одного критерия складываются.
Каждый критерий оценивается независимо. За одну и ту же ошибку участник не может быть «наказан» дважды. Так, если критерии подразумевают выполнение последовательности действий и участник допускает ошибку, оценка снижается только за соответствующий шаг, а последующие результаты должны пересчитываться и оцениваться так, будто промежуточный ответ был правильным. Исключение: если участник получил и проигнорировал заведомо абсурдный ответ (конечный или промежуточный), оценка снижается за все связанные критерии вплоть до нуля.
Оригинальные решения, не совпадающие с авторскими, оцениваются по аналогии, если в них возможно выделить аналогичные шаги. Решение участника может оказаться более эффективным, чем авторское. В таком случае «выпадающие» критерии оцениваются в полном объёме.
Если участник совершает ошибку, не предусмотренную в критериях, член жюри самостоятельно определяет величину штрафа. Оценка не снижается за плохой почерк, помарки, недостатки оформления и прочие не относящиеся к сути решения участника элементы, но может быть снижена за запись численных ответов с заведомо абсурдной точностью.
Для выставления справедливой оценки учитывается вся проделанная участником работа. Некоторые правильные идеи и догадки, имеющие отношение к корректному решению задачи, могут быть оценены суммарно в 1–2 балла даже при отсутствии конкретных продвижений.
Не оцениваются элементы, не имеющие отношения к решению конкретной задачи: отвлечённые факты и произвольные формулы. Однако если правильное решение содержит необязательные дополнения и комментарии с грубыми физическими и астрономическими ошибками, оценка может быть снижена.

Условие

Любознательные наблюдатели измерили зависимость высоты над горизонтом некоторой звезды $S$ и Солнца от времени на протяжении суток. Наблюдения проводились в России в часовом поясе МСК (UTC+3), их результаты представлены на графике. Известно, что ночью была хорошая погода: даже Туманность Андромеды можно было наблюдать невооружённым глазом.

График высоты над горизонтом (ось «Высота, °», 0–90 через 10) от времени (ось «Гражданское время, ч», 0–24 через 2). Солнце (сплошная красная линия): восходит около 6.5 ч, максимум около 42° около 12.5 ч, заходит около 18.5 ч. Звезда S (чёрный пунктир): от 57° в 0 ч убывает до 31° в 6 ч; затем от 65° в 19 ч, максимум около 68° около 20.5 ч, до 57° в 24 ч.

Определите:

а) дату наблюдения;

б) широту и долготу места наблюдения;

в) экваториальные координаты звезды (склонение и прямое восхождение).

Рефракцией и угловыми размерами Солнца пренебрегите.

Решение

Возможное решение:

а) Солнце находилось над горизонтом с 6:30 до 18:30 часов, продолжительность дня составила ровно 12 часов. Такое возможно либо в дни равноденствий, либо на экваторе (в любой день). Но экватор не подходит, так как высота Солнца в полдень составила всего $42^\circ$ , а на экваторе она не может быть меньше, чем $90^\circ-\varepsilon=66.5^\circ$ , где $\varepsilon=23.5^\circ$ — угол между осью вращения Земли и перпендикуляром к плоскости земной орбиты, он же угол между небесным экватором и эклиптикой.

Туманность Андромеды находится в созвездии Андромеды, которое граничит с созвездием Рыб и находится к северу от него. Это достаточно тусклый объект, который можно наблюдать только тёмной ночью. Таким образом, Туманность Андромеды располагается относительно недалеко от точки весеннего равноденствия, находящейся в Рыбах, и при этом в области неба, противоположной Солнцу. Значит, Солнце находилось в точке осеннего равноденствия, а наблюдения проводились приблизительно 22–23 сентября.

б) В день осеннего равноденствия Солнце находится на небесном экваторе, его склонение равно нулю. Высота Солнца в верхней кульминации совпадает с наивысшей точкой небесного экватора и равна $90^\circ-\varphi$ . Таким образом, широта места наблюдения

\varphi=90^\circ-42^\circ=48^\circ\text{ с. ш.}

Заметим, что случай южной широты нас не интересует, так как по условию задачи наблюдения проводились в России, которая полностью находится в Северном полушарии Земли.

Верхняя кульминация Солнца происходит в 12 часов по солнечному времени. Гражданское время совпадает с солнечным для наблюдателя, находящегося на серединном меридиане соответствующего часового пояса. Для часовой зоны UTC+3 долгота этого меридиана равна $15^\circ\times3=45^\circ$ в. д. ( $360^\circ$ соответствуют 24 часам, то есть 1 час соответствует $360^\circ/24=15^\circ$ ). Однако в солнечный полдень на часах наблюдателей было 12:30, то есть кульминация Солнца «опоздала» на полчаса. Это значит, что наблюдатели находились на $15^\circ/2=7.5^\circ$ западнее серединного меридиана, то есть на долготе $37.5^\circ$ в. д. Координаты ( $48^\circ$ с. ш.; $37.5^\circ$ в. д.) соответствуют городу Донецку.

Примечание. На самом деле из-за наклона земной оси и эллиптичности земной орбиты истинное солнечное время в течение года течёт неравномерно, поэтому для определения серединных меридианов используют не настоящее Солнце, а его усреднённую «копию». Разница между средним и истинным солнечным временем называется «уравнением времени» и в течение года принимает значения от −16.4 до +14.3 минут. В день осеннего равноденствия уравнение времени составляет около 8 минут, поэтому при определении долготы мы «ошиблись» примерно на $2^\circ$ .

в) Звезда оказывается в верхней кульминации в 20:30, через 8 часов после верхней кульминации Солнца, то есть разность прямых восхождений Солнца и звезды равна 8 часам, причём звезда находится восточнее. Солнце находится в точке осеннего равноденствия, его прямое восхождение равно 12 часам, поэтому прямое восхождение звезды равно $12^h+8^h=20^h$ .

Осталось определить склонение звезды $\delta$ . Есть два случая:

Верхняя кульминация происходит к югу от зенита, то есть $\delta<\varphi$ . Тогда из высоты в верхней кульминации, которая на графике равна $68^\circ$ :

h_\text{вк}=90^\circ+\delta-\varphi\quad\Longrightarrow\quad\delta=-90^\circ+h_\text{вк}+\varphi=-90^\circ+68^\circ+48^\circ=26^\circ.

Заметим, что при таком склонении высота звезды в нижней кульминации равна $\varphi+\delta-90^\circ=48^\circ+26^\circ-90^\circ=-16^\circ$ , что противоречит графику, так как к моменту нижней кульминации (около 8:30) звезда явно не успеет достигнуть такой высоты.

Верхняя кульминация происходит к северу от зенита, то есть $\delta>\varphi$ . Тогда из высоты в верхней кульминации:

h_\text{вк}=90^\circ-\delta+\varphi\quad\Longrightarrow\quad\delta=90^\circ-h_\text{вк}+\varphi=90^\circ-68^\circ+48^\circ=70^\circ.

Высота звезды в нижней кульминации составит $\varphi+\delta-90^\circ=48^\circ+70^\circ-90^\circ=28^\circ$ .

Точка с экваториальными координатами ( $20^h$ ; $+70^\circ$ ) располагается в созвездии Дракона, недалеко от звезды $\varepsilon$ Dra. Для полноты анализа покажем, как выглядит график без учёта светлого времени суток (когда звезду не видно):

Полные суточные кривые высот Солнца и звезды S для восьмого класса

Критерии оценивания:

Часть	Критерий	Баллы
а	Сделан вывод, что наблюдения проводились в день равноденствия, причём равноденствие осеннее	1 + 1
б1	Определение широты пункта наблюдения по высоте верхней кульминации Солнца	2
б2	Определение долготы пункта наблюдения по сдвигу моментов восхода/захода Солнца или полудня	2
в1	Определение склонения звезды по высоте её верхней кульминации	2
в2	Определение прямого восхождения звезды по времени её верхней кульминации	2
	Всего	10

Решения

Решения заданий будут опубликованы на сайте struve.astroedu.ru.

Бланк с заготовками

Сдайте этот лист вместе со своей работой!

Лист ______ из ______

Справочные данные

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p = 1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e = 9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \mathrm{а.\,е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	$1\ \mathrm{пк} = 206\,265\ \mathrm{а.\,е.} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	$1\ \mathrm{св.\ год} = 365.25\ \mathrm{сут.} \times c = 9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}} = 5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_{\odot} = 1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \mathrm{сут.}$
Сидерический (орбитальный) период	$= 365.25636\ \mathrm{сут.}$
Средняя орбитальная скорость	$= 29.8\ \mathrm{км/с}$
Звёздные сутки	$= 23\ \mathrm{ч}\ 56\ \mathrm{мин}\ 04\ \mathrm{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц	$= 27.32\ \mathrm{сут.}$
Синодический месяц	$= 29.53\ \mathrm{сут.}$
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g = 9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
☉	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
⛢	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Онлайн-тур: граница архивного источника

На онлайн-туре участники выполняли задания в системе тестирования. Комплект для каждого класса содержит 24 задания: вопросы на общие астрономические знания, упражнения для демонстрации практических навыков и простые вычислительные задачи. На выполнение заданий отводился 1 час 30 минут.

Для каждого задания оценивается только представленный участником ответ, оценка составляет 1–2 балла в зависимости от сложности задания и количества подвопросов. Максимальная оценка за тур — 40 баллов.

С полным содержанием комплекта в системе тестирования возможно ознакомиться на сайте олимпиады struve.astroedu.ru.

Примечание читателя к источнику. Страница 39 сообщает только общие сведения и внешнюю ссылку. Условий и ответов онлайн-тура в данном архивном PDF нет; письменные шесть задач каждого класса не дополнены вымышленными онлайн-заданиями.

Примечание читателя: архивные источники

Полные справочные данные повторяются на странице40 ключа и в последней странице отдельного файла условий; таблицы сохранены выше из отдельного файла условий. Архивный ключ печатает авторство методической комиссии и редакторов. Решения атрибутированы архивному изданию; факт отдельного официального размещения этих конкретных архивных байтов не заявлен. Историческая сноска условий о будущей публикации решений сохранена как исходный текст, но найденный40-страничный ключ теперь приведён полностью для соответствующего класса.

Примечание читателя к задаче 8.1

В примечании 3 напечатано $R_0/R$ , хотя ранее $R$ обозначал меньший сгусток. Напечатанные обратные отношения 1.12 и 1.77 и обозначение сохранены; замены переменных не вносились.

Примечание читателя к задаче 8.5

В числителях двух первых формул страница 33 печатает «св. лет». Эти единицы сохранены буквально; исходный график откладывает время в годах. Различные пройденные пути и все обсуждаемые авторским ключом варианты также сохранены.

Оригинал в Архива: struve-2024-final-prob-T-8.pdf · решение от архива: struve-2024-final-sol-T.pdf