Съдържание

Струве 2025, Заключителен етап, 8. клас — Задача 2. Мальчик, который гулял сам по себе

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Струве 2025

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. 8 класс · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Решения и критерии перенесены из архивного методического пособия заключительного этапа 2025 года. В исходнике сохранены отдельные несогласованные числовые значения; примечания к решениям указывают их без исправления оригинала. Тексты компьютерного тура в этом PDF не приведены.

Задача 8.2. Примечание к архивному тексту: в этом ключе используется округление $\varepsilon=23.5^\circ$ ; справочная таблица печатает $23.44^\circ$ .

Обложка методического пособия

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике Методическая комиссия олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве Заключительный этап Задания, решения и критерии оценивания Методическое пособие Москва 2025

Выходные сведения, авторы и жюри

УДК 52(076.1) ББК 22.6 IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. Задания, решения и критерии оценивания : методическое пособие / Под ред. И. А. Утешева, А. В. Веселовой — М.: 2025. — 50 с. Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве проводится для учащихся 7–8-х классов как дополнение к Всероссийской олимпиаде школьников по астрономии, в последних этапах которой принимают участие 9–11-классники. Олимпиада проводится для популяризации астрономии и других естественных наук, а также для выявления на раннем этапе способных и талантливых учащихся и их привлечения к систематическим занятиям астрономией. Заключительный этап IV олимпиады состоялся 24–25 апреля 2025 года в распределённом формате в 65 регионах России от Чукотского автономного округа до Калининградской области. Комплект заданий подготовлен методической комиссией олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве struve.astroedu.ru • struve@astroedu.ru Авторысоставители: Веселова А. В., СПбГУ (Санкт-Петербург) Волобуева М. И., ПФМЛ №239 (Санкт-Петербург) Зворыкин И. А., МФТИ (Москва) Утешев И. А., МФТИ, ЦПМ (Москва) Шамбин А. И., АГУ (Республика Адыгея) Шишкина А. Ф., УУНИТ (Республика Башкортостан) Редакторы: Утешев И. А. — письменный тур Веселова А. В. — онлайн-тур Рецензенты: Эскин Б. Б., СПбГУ (Санкт-Петербург) Булыгин И. И., МГУ им. М. В. Ломоносова, ЦПМ (Москва) Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике выражает благодарность Министерству просвещения Российской Федерации и Московскому физико-техническому институту за поддержку инициативы по организации олимпиады, а также всех причастных к её проведению, в особенности членов жюри заключительного этапа олимпиады 2025 года: Автаеву А. А., Безбородову И. Н., Булыгина И. И., Веселову А. В., Зворыкина И. А., Иванова Е. С., Кирсанкину А. П., Кованкина А. С., Комкова Н. Н., Леденева Е. И., Орлова И. О., Русакова С. А., Санковского Д. Е., Телелюхина К. С., Утешева И. А., Федорова В. С., Шишкину А. Ф., Южакова И. И.

Содержание методического пособия

Содержание I Письменный тур 4 7 класс 6 7.1 Один день решает судьбу империи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7.2 Труба на Европу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.3 Трое на орбите ждут Рассветы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7.4 Вне Земли от счастья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7.5 Да-да, созвездие Кота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7.6 Чашу огня в небо поднять . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8 класс 29 8.1 Один день решает судьбу империи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8.2 Мальчик, который гулял сам по себе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8.3 Марс и Юпитер, или N лет спустя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8.4 Ой, не преувеличивай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8.5 Живите сегодняшним днём! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.6 Чашу огня в небо поднять . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 II Онлайн-тур 49 Справочные данные 50

Общие указания для жюри

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 4 Часть I Письменный тур На письменном туре участникам предложены 6 задач, на выполнение которых отводилось 3 часа 55 минут. Каждая задача предполагает представление развёрнутого письменного решения. Решение каждого задания оценивается из 10 баллов. Максимальная оценка за тур — 60 баллов. Принципы оценивания олимпиадных работ 1. Правильное решение оценивается полным баллом, при этом оно не обязано повторять авторское буквально или логически. Частично верное или совершенно неверное решение оценивается соответственно частичным баллом или нулём. 2. Решение участника разбивается на логические элементы (шаги). Каждый из шагов оценивается независимо в соответствии с критериями, приведёнными после авторского решения задачи. Оценка за задачу равна сумме оценок за каждый из критериев. За каждый из критериев выставляется неотрицательная оценка. Если критерием предусмотрен штраф, он применяется к полной оценке за критерий; штрафы в пределах одного критерия складываются. 3. Каждый критерий оценивается независимо. За одну и ту же ошибку участник не может быть «наказан» дважды. Однако если участник получил и проигнорировал заведомо абсурдный результат, оценка может быть снижена вплоть до нуля. 4. Оригинальные решения, не совпадающие с авторскими, оцениваются по аналогии, если в них возможно выделить аналогичные шаги. Решение участника может оказаться более эффективным, чем авторское. В таком случае «выпадающие» критерии оцениваются в полном объёме. 5. Если участник совершает ошибку, не предусмотренную в критериях, член жюри самостоятельно определяет величину штрафа. Оценка не снижается за плохой почерк, помарки, недостатки оформления и прочие не относящиеся к сути решения участника элементы, но может быть снижена за запись численных ответов с заведомо абсурдной точностью.

Общие указания для жюри — продолжение

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 5 6. Для выставления справедливой оценки учитывается вся проделанная участником работа. Некоторые правильные идеи и догадки, имеющие отношение к корректному решению задачи, могут быть (на усмотрение членов жюри) оценены суммарно в 1–2 балла даже при отсутствии конкретных продвижений. 7. Не оцениваются элементы, не имеющие отношения к решению конкретной задачи: отвлечённые факты и произвольные формулы. Однако если правильное решение содержит необязательные дополнения и комментарии с грубыми физическими и астрономическими ошибками, оценка может быть снижена. 8. Каждая задача проверяется независимо двумя членами жюри. В протокол жюри вносится одна согласованная оценка за задачу. Если устранить разногласия не удалось, окончательное решение принимает председатель жюри или уполномоченный им член жюри.

Условие

Первое наблюдение. Любопытный первоклассник вышел погулять 23 сентября. Около полуночи мальчик наблюдал восход Марса и заход Юпитера и заметил, что угловое расстояние между планетами составило $180^{\circ}$ . Наблюдение проходило в ясную ночь на параллели $55^{\circ}$ с. ш.

Задания:

Две заготовки. Слева — вид на Солнечную систему сверху: Солнце ⊙ в центре, три концентрические окружности (орбиты), на внутренней орбите отмечена Земля ⊕. Справа — небесная сфера с точкой наблюдателя в центре, горизонтом (подпись «Горизонт») и наклонённым небесным экватором (подпись «Небесный экватор»); задние половины кругов показаны штрихами. — Рис. 1: Заготовки зарисовок: положения планет в пространстве (слева) и на небесной сфере (справа)

а) Зарисуйте положения Марса и Юпитера относительно Солнца ⊙ и Земли ⊕ в день наблюдения, подпишите планеты символами ♂ и ♃ соответственно.

б) Могли ли восход Марса и заход Юпитера произойти одновременно? Если нет, то какое из этих событий наступило раньше?

в) Зарисуйте положения Марса ♂, Юпитера ♃ и Солнца ⊙ на небесной сфере в момент захода Юпитера.

г) Определите разность высот верхних кульминаций Юпитера и Марса на данной широте в день наблюдения.

Указания. Используйте для зарисовок выданный лист с заготовками зарисовок.

Орбиты планет считайте круговыми и лежащими в одной плоскости.

Решение

Возможное решение. В полночь Солнце находится в нижней кульминации. Так как Марс (примерно) в этот момент восходит, а Юпитер — заходит, делаем вывод, что угол между направлением на Солнце и на каждую из планет близок к $90^\circ$ , то есть планеты находятся вблизи квадратур. При этом Марс опережает Солнце в суточном движении, то есть находится к западу от него — вблизи западной квадратуры, а Юпитер, наоборот, расположен восточнее, вблизи восточной квадратуры. На рис. 13 слева представлен вид на Солнечную систему с севера (движение планет и вращение Земли вокруг своей оси происходит против часовой стрелки).

Солнце, Марс и Юпитер находятся на эклиптике — большом круге небесной сферы, который наклонён к плоскости небесного экватора на угол $\varepsilon=23.5^\circ$ . Большие круги всегда пересекаются в диаметрально противоположных точках, и, соответственно, делят друг друга пополам. Это значит, что точки эклиптики, находящиеся на горизонте, всегда разделены угловым расстоянием в $180^\circ$ . Следовательно, восход Марса и заход Юпитера должны произойти одновременно.

Разберёмся, как это изобразить на небесной сфере. Так как описанные события происходят 23 сентября, то Солнце находится в точке осеннего равноденствия — одной из двух точек пересечения эклиптики с небесным экватором. Солнце относительно звёзд перемещается с запада на восток (противоположно суточному движению, которое происходит, как известно, с востока на запад). Тогда Марс, расположенный примерно в $90^\circ$ к западу от Солнца, находиться около точки летнего солнцестояния, а Юпитер, соответственно, вблизи точки зимнего солнцестояния.

Орбитальная схема и небесная сфера с полной эклиптикой и горизонтом — Рис. 13: Положения планет в пространстве (слева) и на небесной сфере (справа)

Отметим, что точно определить положения планет невозможно: если планеты находятся в точности в квадратурах (и, соответственно, в точках солнцестояний), то Солнце в момент пересечения планетами горизонта не находится в точности в нижней кульминации. Действительно, если точка осеннего равноденствия в нижней кульминации, то до соответствующих кульминаций точек солнцестояний осталось 6 часов. Но точка лета находится выше горизонта больше 12 часов в течение суток (в Северном полушарии), поэтому она уже должна была взойти. Напротив, точка зимы находится выше горизонта менее 12 часов в сутки, поэтому уже зашла. Если же предположить, что восход Марса и заход Юпитера произошли ровно в местную полночь, то это значит, что они не находятся в точности в квадратурах. Поэтому на рисунке (рис. 13, справа) возможна некоторая вариативность.

Отметим ключевые моменты, которые должны выполняться в любом случае:

Солнце, Марс и Юпитер находятся на эклиптике;
Солнце находится в точке осеннего равноденствия, на пересечении эклиптики и небесного экватора;
Солнце находится в нижней кульминации или вблизи неё;
Марс и Юпитер находятся на горизонте в диаметрально противоположных точках: Марс — на восточной стороне, Юпитер — на западной;
Марс находится вблизи точки летнего солнцестояния (к северу от небесного экватора), Юпитер — вблизи точки зимнего солнцестояния (к югу от небесного экватора).

Для определения высот в верхней кульминации воспользуемся известной формулой:

h_{\text{вк}}=90^\circ-|\varphi-\delta|.

На широте $\varphi=55^\circ$ верхняя кульминация всех точек эклиптики происходит к югу от зенита, так как $\varphi>\varepsilon$ . Тогда разность высот просто равна разности склонений: $\Delta h=\Delta\delta$ . Так как Марс находится вблизи точки летнего солнцестояния, его склонение $\delta_{\text{М}}\approx+\varepsilon$ . Юпитер находится в противоположной точке эклиптики, $\delta_{\text{Ю}}\approx-\varepsilon$ . В результате имеем

\Delta h=\delta_{\text{М}}-\delta_{\text{Ю}}\approx\varepsilon-(-\varepsilon)=2\varepsilon=47^\circ.

Критерии оценивания:

Критерий	Баллы
а1. Приведён рисунок с угловым расстоянием между планетами $180^\circ$	1
а2. Верно указан тип квадратуры каждой планеты	1
а3. Указана невозможность одновременного нахождения планет на горизонте, если обе они наблюдаются в квадратурах	1
б1. Верный ответ на вопрос	1
б2. Верное обоснование указанного ответа	1
в. Верно отмечены планеты и Солнце	1+1+1
г1. Верно определены склонения планет	1
г2. Верно вычислена разность высот	1
Всего	10

Справочные данные

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная	$G$	$= 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c$	$= 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p$	$= 1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e$	$= 9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	1 а. е.	$= 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	1 пк	= 206 265 а. е. $= 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	1 св. год	= 365.25 сут. $\times\, c = 9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot}$	$= -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}}$	$= 5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_{\odot}$	$= 1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год		= 365.24219 сут.
Сидерический (орбитальный) период		= 365.25636 сут.
Средняя орбитальная скорость		= 29.8 км/с
Звёздные сутки		= 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon$	$= 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц		= 27.32 сут.
Синодический месяц		= 29.53 сут.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g$	$= 9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
⊙	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
⛢	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Компьютерный тур — архивная отсылка

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 49 Часть II Онлайн-тур На онлайн-туре участники выполняли задания в системе тестирования. Комплект для каждого класса содержит 24 задания: вопросы на общие астрономические знания, упражнения для демонстрации практических навыков и простые вычислительные задачи. На выполнение заданий отводился 1 час 30 минут. Для каждого задания оценивается только представленный участником ответ, оценка составляет 1–2 балла в зависимости от сложности задания и количества подвопросов. Максимальная оценка за тур — 40 баллов. С полным содержанием комплекта в системе тестирования возможно ознакомиться на сайте олимпиады struve.astroedu.ru.

В этом PDF нет текстов 24 заданий компьютерного тура; ссылка не заменяет отсутствующие условия и ключи.

Справочные данные — методическое пособие

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная	$G$	$= 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c$	$= 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p$	$= 1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e$	$= 9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	1 а. е.	$= 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	1 пк	= 206 265 а. е. $= 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	1 св. год	= 365.25 сут. $\times\, c = 9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot}$	$= -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}}$	$= 5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_{\odot}$	$= 1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год		= 365.24219 сут.
Сидерический (орбитальный) период		= 365.25636 сут.
Средняя орбитальная скорость		= 29.8 км/с
Звёздные сутки		= 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon$	$= 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц		= 27.32 сут.
Синодический месяц		= 29.53 сут.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g$	$= 9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
⊙	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
⛢	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: struve-2025-final-prob-T-8.pdf · решение от архива: struve-2025-final-sol-T.pdf