Съдържание

Струве 2025, Заключителен етап, 8. клас — Задача 5. Живите сегодняшним днём!

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Струве 2025

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. 8 класс · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Решения и критерии перенесены из архивного методического пособия заключительного этапа 2025 года. В исходнике сохранены отдельные несогласованные числовые значения; примечания к решениям указывают их без исправления оригинала. Тексты компьютерного тура в этом PDF не приведены.

Задача 8.2. Примечание к архивному тексту: в этом ключе используется округление $\varepsilon=23.5^\circ$ ; справочная таблица печатает $23.44^\circ$ .

Обложка методического пособия

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике Методическая комиссия олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве Заключительный этап Задания, решения и критерии оценивания Методическое пособие Москва 2025

Выходные сведения, авторы и жюри

УДК 52(076.1) ББК 22.6 IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. Задания, решения и критерии оценивания : методическое пособие / Под ред. И. А. Утешева, А. В. Веселовой — М.: 2025. — 50 с. Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве проводится для учащихся 7–8-х классов как дополнение к Всероссийской олимпиаде школьников по астрономии, в последних этапах которой принимают участие 9–11-классники. Олимпиада проводится для популяризации астрономии и других естественных наук, а также для выявления на раннем этапе способных и талантливых учащихся и их привлечения к систематическим занятиям астрономией. Заключительный этап IV олимпиады состоялся 24–25 апреля 2025 года в распределённом формате в 65 регионах России от Чукотского автономного округа до Калининградской области. Комплект заданий подготовлен методической комиссией олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве struve.astroedu.ru • struve@astroedu.ru Авторысоставители: Веселова А. В., СПбГУ (Санкт-Петербург) Волобуева М. И., ПФМЛ №239 (Санкт-Петербург) Зворыкин И. А., МФТИ (Москва) Утешев И. А., МФТИ, ЦПМ (Москва) Шамбин А. И., АГУ (Республика Адыгея) Шишкина А. Ф., УУНИТ (Республика Башкортостан) Редакторы: Утешев И. А. — письменный тур Веселова А. В. — онлайн-тур Рецензенты: Эскин Б. Б., СПбГУ (Санкт-Петербург) Булыгин И. И., МГУ им. М. В. Ломоносова, ЦПМ (Москва) Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике выражает благодарность Министерству просвещения Российской Федерации и Московскому физико-техническому институту за поддержку инициативы по организации олимпиады, а также всех причастных к её проведению, в особенности членов жюри заключительного этапа олимпиады 2025 года: Автаеву А. А., Безбородову И. Н., Булыгина И. И., Веселову А. В., Зворыкина И. А., Иванова Е. С., Кирсанкину А. П., Кованкина А. С., Комкова Н. Н., Леденева Е. И., Орлова И. О., Русакова С. А., Санковского Д. Е., Телелюхина К. С., Утешева И. А., Федорова В. С., Шишкину А. Ф., Южакова И. И.

Содержание методического пособия

Содержание I Письменный тур 4 7 класс 6 7.1 Один день решает судьбу империи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7.2 Труба на Европу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.3 Трое на орбите ждут Рассветы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7.4 Вне Земли от счастья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7.5 Да-да, созвездие Кота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7.6 Чашу огня в небо поднять . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8 класс 29 8.1 Один день решает судьбу империи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8.2 Мальчик, который гулял сам по себе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8.3 Марс и Юпитер, или N лет спустя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8.4 Ой, не преувеличивай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8.5 Живите сегодняшним днём! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.6 Чашу огня в небо поднять . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 II Онлайн-тур 49 Справочные данные 50

Общие указания для жюри

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 4 Часть I Письменный тур На письменном туре участникам предложены 6 задач, на выполнение которых отводилось 3 часа 55 минут. Каждая задача предполагает представление развёрнутого письменного решения. Решение каждого задания оценивается из 10 баллов. Максимальная оценка за тур — 60 баллов. Принципы оценивания олимпиадных работ 1. Правильное решение оценивается полным баллом, при этом оно не обязано повторять авторское буквально или логически. Частично верное или совершенно неверное решение оценивается соответственно частичным баллом или нулём. 2. Решение участника разбивается на логические элементы (шаги). Каждый из шагов оценивается независимо в соответствии с критериями, приведёнными после авторского решения задачи. Оценка за задачу равна сумме оценок за каждый из критериев. За каждый из критериев выставляется неотрицательная оценка. Если критерием предусмотрен штраф, он применяется к полной оценке за критерий; штрафы в пределах одного критерия складываются. 3. Каждый критерий оценивается независимо. За одну и ту же ошибку участник не может быть «наказан» дважды. Однако если участник получил и проигнорировал заведомо абсурдный результат, оценка может быть снижена вплоть до нуля. 4. Оригинальные решения, не совпадающие с авторскими, оцениваются по аналогии, если в них возможно выделить аналогичные шаги. Решение участника может оказаться более эффективным, чем авторское. В таком случае «выпадающие» критерии оцениваются в полном объёме. 5. Если участник совершает ошибку, не предусмотренную в критериях, член жюри самостоятельно определяет величину штрафа. Оценка не снижается за плохой почерк, помарки, недостатки оформления и прочие не относящиеся к сути решения участника элементы, но может быть снижена за запись численных ответов с заведомо абсурдной точностью.

Общие указания для жюри — продолжение

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 5 6. Для выставления справедливой оценки учитывается вся проделанная участником работа. Некоторые правильные идеи и догадки, имеющие отношение к корректному решению задачи, могут быть (на усмотрение членов жюри) оценены суммарно в 1–2 балла даже при отсутствии конкретных продвижений. 7. Не оцениваются элементы, не имеющие отношения к решению конкретной задачи: отвлечённые факты и произвольные формулы. Однако если правильное решение содержит необязательные дополнения и комментарии с грубыми физическими и астрономическими ошибками, оценка может быть снижена. 8. Каждая задача проверяется независимо двумя членами жюри. В протокол жюри вносится одна согласованная оценка за задачу. Если устранить разногласия не удалось, окончательное решение принимает председатель жюри или уполномоченный им член жюри.

Условие

Звезда Барнарда — одна из самых быстрых на земном небосводе — имеет в настоящий момент экваториальные координаты ( $\alpha = 17^{\mathrm{h}}\,59^{\mathrm{m}}\,2.10^{\mathrm{s}},\ \delta = +4^{\circ}\,45'\,42.8''$ ). Каждый год прямое восхождение звезды изменяется на $\mu_{\alpha} = -0.8''$ , а склонение — на $\mu_{\delta} = 10.4''$ . Яркая звезда созвездия Змееносца, Кебалраи ( $\beta$ Oph) находится неподалеку от звезды Барнарда, имеет координаты ( $\alpha = 17^{\mathrm{h}}\,44^{\mathrm{m}}\,43.26^{\mathrm{s}},\ \delta = +4^{\circ}\,33'\,21.5''$ ) и сравнительно неподвижна на небе.

Пустая миллиметровая сетка с осями: вертикальная ось подписана «δ, °», горизонтальная ось со стрелкой влево подписана «α, °». — Рис. 2: Заготовка чертежа

а) Какое угловое расстояние разделяет звезду Барнарда и $\beta$ Oph в настоящее время?

б) Определите угловое расстояние между этими звёздами через 1000 лет.

в) На какое минимальное расстояние сблизятся эти звёзды и когда это произойдет?

Для решения задачи можно использовать выданный лист с заготовкой чертежа.

Решение

Возможное решение:

а) В настоящее время различие прямых восхождений звезд составляет

\Delta\alpha=17^{\mathrm h}59^{\mathrm m}2.10^{\mathrm s}-17^{\mathrm h}44^{\mathrm m}43.26^{\mathrm s}=14^{\mathrm m}18.84^{\mathrm s}=14.31^{\mathrm m}.

Различие склонений равно

\Delta\delta=4^\circ45'42.8''-4^\circ33'21.5''=12'21.3''=12.36'.

Угловое расстояние между звездами можно вычислить по теореме Пифагора, поскольку склонение невелико, расстояния невелики и область неба можно считать плоской:

l=\sqrt{(\Delta\alpha)^2+(\Delta\delta)^2}.

При этом нужно не забыть перевести единицы измерения к одинаковым, например, к угловым минутам. Вспомним, что

360^\circ=24^{\mathrm h},\quad15^\circ=1^{\mathrm h},\quad15'=1^{\mathrm m},\quad15''=1^{\mathrm s},

откуда $\Delta\alpha=14.31\times15'=214.7'$ . Тогда современное угловое расстояние между звёздами есть

l=\sqrt{(214.7')^2+(12.4')^2}\approx215'=3.6^\circ.

Основное различие в координатах обусловлено именно разницей прямых восхождений, поэтому и расстояние между звездами практически совпадает с $\Delta\alpha$ .

б) Определим, как изменятся координаты звезды Барнарда за 1000 лет. Смещение по прямому восхождению составит

d\alpha=1000\mu_\alpha=1000\times(-0.8'')=-800''\approx-13.3'.

Прямое восхождение звезды Барнарда уменьшается, современное прямое восхождение было больше, чем у Кебалраи, следовательно, уменьшается и разность прямых восхождений с Кебалраи. Новая разность составит $\Delta\alpha'=214.7'-13.3'=201.4'$ .

Склонение изменится на величину

d\delta=1000\times\mu_\delta=1000\times10.4''=10400''=173.3'.

Склонение звезды Барнарда увеличивается, современное склонение при этом и так было больше, чем у Кебалраи, следовательно, увеличится и разность склонений. Новая разность составит $\Delta\delta'=12.4'+173.3'=185.7'$ . Новое угловое расстояние при этом окажется равным

l=\sqrt{(201.4')^2+(185.7')^2}\approx274'=4.6^\circ.

в) Пусть с текущего момента прошло время $t$ тысяч лет — такая единица измерения времени позволит работать с близкими по порядку величины коэффициентами. Прямое восхождение звезды Барнарда изменится на $\mu_\alpha\cdot t=-800''\cdot t=-13.3'\cdot t$ , склонение изменится на $\mu_\delta\cdot t=10400''\cdot t=173.3'\cdot t$ . Тогда разности прямых восхождений и склонений двух звезд составят

\Delta\alpha=|214.7'-13.3'\cdot t|,\qquad\Delta\delta=12.4'+173.3'\cdot t.

Заметим, что минимальное расстояние соответствует минимальному квадрату расстояния. С учетом указанных выше разностей координат квадрат расстояния между звездами зависит от времени как

l^2(t)=(214.7'-13.3'\cdot t)^2+(12.4'+173.3'\cdot t)^2.

В правой части после раскрытия скобок получится квадратичная функция, то есть требуется найти наименьшее значение на параболе. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

l^2(t)=30210t^2-1413t+46250.

Старший коэффициент положителен, ветви параболы направлены вверх, а наименьшее значение достигается в вершине:

t_0=-\frac{-1413}{2\cdot30210}=0.023.

Следовательно, минимальное расстояние достигается примерно через 23 года! Определим квадрат расстояния в квадратных угловых минутах, а также само расстояние:

l(t_0)^2=30210\cdot(0.023)^2-1413\cdot0.023+46250=46233,

l(t_0)=\sqrt{l(t_0)^2}=215'=3.6^\circ.

Неудивительно, что с точностью наших расчётов минимальное расстояние совпало с современным.

Критерии оценивания:

Критерий	Баллы
а. Обоснованное получение расстояния между звёздами в настоящее время	3
Единицы измерения не приведены к одной	−2
Расстояние определено не по теореме Пифагора: разность координат, сумма модулей отклонений, и т. д.	−2
Арифметическая ошибка	−1
б. Обоснованное получение верного расстояния через 1000 лет	3
Единицы измерения не приведены к одной	−2
Расстояние определено не по теореме Пифагора: разность координат, сумма модулей отклонений, и т. д.	−2
Арифметическая ошибка	−1
в-1.1. Запись выражения для расстояния или его квадрата в зависимости от времени	2
в-1.2. Определение момента времени исходя из уравнения	1
в-1.3. Определение минимального расстояния исходя из уравнения	1
в-2.1. Нарисованы верные траектории движения звёзд либо верная относительная траектория звёзд	2
Неверное направление отсчёта прямого восхождения	−1
в-2.2. Определение минимального расстояния	1
в-2.3. Определение времени достижения минимального расстояния в пределах ±100 лет	1
Всего	10

Замечание. Определение расстояния при помощи рисунка в данной задаче (в отличие от задачи 7.5) затруднено: звезда Барнарда находится на минимальном расстоянии практически сейчас, отличить текущее расстояние между звездами от минимального сложно, отрезки буквально совпадают. При этом погрешности в изображении траектории звезды Барнарда существенно снижают точность полученных результатов. Чертёж лишь позволяет получить «наводку» на примерное значение правильного ответа и понять, что минимальное расстояние достигается в окрестностях сегодняшнего дня.

Поскольку большинство участников всё же использовали графический метод решения, баллы выставлялись за описание метода (определение длины перпендикуляра, опущенного на траекторию звезды Барнарда), верное изображение траектории в указанных осях и масштабе и получение обоснованных ответов. При этом получение минимального расстояния, большего чем современное — грубая ошибка.

Справочные данные

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная	$G$	$= 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c$	$= 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p$	$= 1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e$	$= 9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	1 а. е.	$= 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	1 пк	= 206 265 а. е. $= 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	1 св. год	= 365.25 сут. $\times\, c = 9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot}$	$= -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}}$	$= 5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_{\odot}$	$= 1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год		= 365.24219 сут.
Сидерический (орбитальный) период		= 365.25636 сут.
Средняя орбитальная скорость		= 29.8 км/с
Звёздные сутки		= 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon$	$= 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц		= 27.32 сут.
Синодический месяц		= 29.53 сут.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g$	$= 9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
⊙	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
⛢	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Компьютерный тур — архивная отсылка

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 49 Часть II Онлайн-тур На онлайн-туре участники выполняли задания в системе тестирования. Комплект для каждого класса содержит 24 задания: вопросы на общие астрономические знания, упражнения для демонстрации практических навыков и простые вычислительные задачи. На выполнение заданий отводился 1 час 30 минут. Для каждого задания оценивается только представленный участником ответ, оценка составляет 1–2 балла в зависимости от сложности задания и количества подвопросов. Максимальная оценка за тур — 40 баллов. С полным содержанием комплекта в системе тестирования возможно ознакомиться на сайте олимпиады struve.astroedu.ru.

В этом PDF нет текстов 24 заданий компьютерного тура; ссылка не заменяет отсутствующие условия и ключи.

Справочные данные — методическое пособие

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная	$G$	$= 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c$	$= 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p$	$= 1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e$	$= 9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	1 а. е.	$= 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	1 пк	= 206 265 а. е. $= 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	1 св. год	= 365.25 сут. $\times\, c = 9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot}$	$= -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}}$	$= 5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_{\odot}$	$= 1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год		= 365.24219 сут.
Сидерический (орбитальный) период		= 365.25636 сут.
Средняя орбитальная скорость		= 29.8 км/с
Звёздные сутки		= 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon$	$= 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц		= 27.32 сут.
Синодический месяц		= 29.53 сут.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g$	$= 9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
⊙	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
⛢	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: struve-2025-final-prob-T-8.pdf · решение от архива: struve-2025-final-sol-T.pdf