ВсОШ 2003, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 11. Архимед

• $N_1 = (\rho_0 - \rho)V(a\cos\gamma - a\sin\gamma\operatorname{ctg}\alpha + g),\quad N_2 = (\rho_0 - \rho)Va\sin\gamma/\sin\alpha;\quad \alpha > \gamma$

На шар (рис. 28) действуют сила тяжести $P = \rho_0Vg$, силы $N_1$ и $N_2$ со стороны дна и стенки сосуда, сила Архимеда $F_a$ со стороны воды. Разложим для удобства $F_a$ на горизонтальную и вертикальную составляющие $F_{ax}$ и $F_{ay}$. Эти составляющие найдем, записав уравнения движения в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси $x$ и $y$ для мысленно выделенного водяного шара объемом $V$, движущегося с ускорением $a$:

$F_{ax} = \rho Va\sin\gamma$, $\quad F_{ay} - \rho Vg = \rho Va\cos\gamma$.

Отсюда $F_{ax} = \rho Va\sin\gamma$, $F_{ay} = \rho V(g + a\cos\gamma)$. Запишем уравнения движения для стеклянного шара в проекциях на оси $x$ и $y$:

$F_{ax} + N_2\sin\alpha = \rho_0Va\sin\gamma$,

$F_{ay} - \rho_0Vg + N_1 + N_2\cos\alpha = \rho_0Va\cos\gamma$.

Из двух последних уравнений с учетом найденных выражений для $F_{ax}$ и $F_{ay}$ находим силы давления на дно и стенку:

Шар не будет отрываться от дна, если $N_1 > 0$, то есть $a\cos\gamma - a\sin\gamma\operatorname{ctg}\alpha + g > 0$. Перепишем неравенство в виде $\sin\gamma\operatorname{ctg}\alpha - \cos\gamma < g/a$. Это неравенство выполнено для любых $a > 0$ при $\sin\gamma\operatorname{ctg}\alpha - \cos\gamma < 0$. Отсюда следует, что при любых $V$, $\rho_0$, $\rho$ ($\rho_0 > \rho$) отрыва от дна не будет при $\alpha > \gamma$. Заметим, что последнее условие можно получить из физических соображений, не прибегая к анализу выражения для $N_1$.