Съдържание

ВсОШ 2005, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 10.3. Падение со ступеньки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2005

XXXIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Внимание: Бележка към темата

Скан брошюры: у левого края некоторых страниц (условия 11 класса и решения) обрезаны начальные буквы строк; обрезанные фрагменты восстановлены по смыслу, неочевидные восстановления отмечены квадратными скобками.

Условие

На край ступеньки высотой $H$ положили тонкостенную трубу радиусом $R$ и массой $m$ (рис. 2). Труба начала скатываться со ступеньки. Определите вертикальную составляющую $v_y$ скорости центра масс трубы непосредственно перед ударом о горизонтальную поверхность. Считайте, что труба не проскальзывает.

Труба-окружность радиуса R лежит на краю ступеньки; высота ступеньки H показана вертикальной стрелкой слева, нижняя горизонтальная поверхность заштрихована. — Рис 2

Отговори

Решение

Допустим, что высота ступеньки достаточно большая, так что труба сначала отрывается от края, а затем касается основания ступеньки. Рассмотрим момент отрыва трубы от ступеньки (рис. 8). Пусть к этому моменту она повернулась на угол $\alpha$ , а ее центр масс приобрел скорость $v_0$ , тогда из закона сохранения энергии

m v_0^2 = mgR(1 - \cos\alpha). \qquad (5)

Множитель $\frac{1}{2}$ в формуле для кинетической энергии отсутствует, так как полная кинетическая энергия трубы складывается из энергий поступательного и вращательного движений. Когда проскальзывания нет, они равны между собой.

В момент отрыва центростремительное ускорение трубы создает только сила тяжести:

\frac{m v_0^2}{R} = mg\cos\alpha. \qquad (6)

Из (5) и (6) находим

\cos\alpha = \frac{1}{2}, \qquad v_0^2 = \frac{gR}{2}.

Поскольку скорость $\vec{v}_0$ перпендикулярна радиусу трубы, направленного в точку касания, вертикальная составляющая скорости центра масс в момент отрыва будет равна $v_{0y} = v_0\sin\alpha$ . К моменту падения она увеличится за счет потенциальной энергии трубы. Вращательная энергия и горизонтальная составляющая скорости после отрыва изменяться не будет.

По закону сохранения энергии

\frac{m v_{0y}^2}{2} + mgH + mgR\cos\alpha = \frac{m v_y^2}{2} + mgR,

откуда искомая скорость

v_y = \sqrt{v_0^2\sin^2\alpha + 2gH - 2gR(1 - \cos\alpha)} = \sqrt{2gH - \frac{5}{8}gR}.

Этот ответ справедлив, если

H > R(1 - \cos\alpha) = \frac{R}{2}.

Если же $H < R/2$ , то труба коснется основания ступеньки, еще не оторвавшись от ее края. Тогда из закона сохранения энергии

m v_1^2 = mgH.

Скорость $v_1$ направлена под углом $\alpha_1$ к вертикали:

\cos\alpha_1 = \frac{R - H}{R}.

Ее вертикальная составляющая скорости в этот момент

v_y = v_1\sin\alpha_1 = \sqrt{gH}\sqrt{1 - \left(\frac{R - H}{R}\right)^2} = \frac{H}{R}\sqrt{g(2R - H)}.

Труба (окружность с центром O) в момент отрыва от края ступеньки: радиус к точке касания отклонен от вертикали на угол α, этот же угол α отмечен сверху между вертикалью и продолжением радиуса; вниз от центра направлена сила тяжести mg (вектор); слева заштрихована стенка ступеньки. — Рис 8

Справочные данные

Величина	Значение
Скорость света в вакууме	$c = 2{,}998 \cdot 10^{8}$ м/с
Постоянная Планка	$h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Гравитационная постоянная	$\gamma = 6{,}672 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²
Элементарный заряд	$e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}$ Кл
Электрическая постоянная	$\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}$ Ф/м
Магнитная постоянная	$\mu_0 = 1{,}257 \cdot 10^{-6}$ Гн/м
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5{,}670 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴)
Масса электрона	$m_e = 9{,}110 \cdot 10^{-31}$ кг
Атомная единица массы	1 а.е.м. $= 1{,}661 \cdot 10^{-27}$ кг
Универсальная газовая постоянная	$R = 8314$ Дж/(кмоль·К)
Постоянная Авогадро	$N_A = 6{,}022 \cdot 10^{26}$ кмоль⁻¹
Постоянная Больцмана	$k = 1{,}381 \cdot 10^{-23}$ Дж/К
Абсолютный нуль температур	$T_0 = -273{,}15$ °C
Ускорение свободного падения (стандартное)	$g = 9{,}807$ м/с²
Атмосферное давление (нормальное)	$p_0 = 1{,}013 \cdot 10^{5}$ Па
Средняя молярная масса воздуха	$\mu = 29$ кг/кмоль
Масса Солнца	$1{,}989 \cdot 10^{30}$ кг
Радиус Солнца	$6{,}960 \cdot 10^{8}$ м
Расстояние от Солнца до Земли (среднее), астр. единица	$1{,}496 \cdot 10^{11}$ м
Масса Земли	$5{,}976 \cdot 10^{24}$ кг
Радиус Земли (экваториальный)	$6{,}378 \cdot 10^{6}$ м
Расстояние от Земли до Луны (среднее)	$3{,}844 \cdot 10^{8}$ м
Масса Луны	$7{,}350 \cdot 10^{22}$ кг
Радиус Луны (средний)	$1{,}738 \cdot 10^{6}$ м
Молярная масса воды	$\mu = 18$ кг/кмоль
Плотность воды (при 4°C)	1000 кг/м³
Плотность льда (при 0°C)	917 кг/м³
Теплоемкость льда	$2{,}1 \cdot 10^{3}$ Дж/(кг·°C)
Теплота плавления льда	$3{,}350 \cdot 10^{5}$ Дж/кг
Теплоемкость воды	$4{,}18 \cdot 10^{3}$ Дж/(кг·°C)
Теплота парообразования воды	$2{,}256 \cdot 10^{6}$ Дж/кг

Оригинал в Архива: ok05T.pdf