Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2011, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 15. Диод в колебательном контуре

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Титульный лист

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике

Региональный этап

Теоретический тур

Методическое пособие

МФТИ, 2009/2010 уч.г.

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.

E-mail: physolymp@gmail.com

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

Подписано в печать 29 ноября 2010 г. в 17:42.

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Авторы задач

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Кармазин С.	1. Кармазин С.	1. Шведов О.
2. Кудряшова Н.	2. Фольклор	2. Александров Д.
3. Слободянин В.	3. Антоненко Д.	3. Слободянин В.
4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.	4. Фольклор
5. Фольклор	5. Фольклор	5. Осин М.

Условие

Электрическая цепь состоит из идеального источника тока с ЭДС $\mathscr{E}$ , двух конденсаторов ёмкостью $C$ и $2C$ , катушки индуктивности $L$ , сопротивлений $R$ и $r$ , идеального диода $D$ и двух ключей $K_1$ , $K_2$ (рис. 18). В начальный момент времени конденсаторы не заряжены, а ключи разомкнуты. Сначала замыкают ключ $K_1$ . Найдите:

1. напряжение $U_{2C}$ , установившееся на конденсаторе $2C$ ;

2. работу $A$ , совершённую источником тока.

После того, как конденсаторы зарядятся, ключ $K_1$ размыкают, а ключ $K_2$ замыкают. Затухание в получившемся $RLC$ –контуре мало, то есть теплота, которая выделяется на резисторе $R$ за полпериода колебаний, намного меньше начальной энергии, запасённой в конденсаторе ёмкостью $2C$ .

1. Найдите зависимость силы тока $I = I(t)$ от времени.

2. Постройте соответствующий график.

3. Определите количество теплоты $Q_R$ , которая выделится на резисторе.

4. Вычислите установившееся напряжение $U_D$ на диоде.

Отговори

Решение

По истечению большого промежутка времени конденсаторы зарядятся до некоторых напряжений $U_C$ , $U_{2C}$ и ток в цепи прекратится. Запишем второе правило Кирхгофа и закон сохранения заряда:

\mathscr{E} = U_C + U_{2C}, \qquad (17)

CU_C = 2CU_{2C}. \qquad (18)

Отсюда получим ответ на первый вопрос:

U_{2C} = \frac{\mathscr{E}}{3}. \qquad (19)

Работа источника тока равна:

A = \mathscr{E}\Delta q, \qquad (20)

Так как $\Delta q = 2CU_{2C}$ , то:

A = \mathscr{E} \cdot 2C \cdot \frac{\mathscr{E}}{3} = 2C\frac{\mathscr{E}^2}{3}. \qquad (21)

После размыкания ключа $K_1$ и замыкания ключа $K_2$ , пока диод открыт, в цепи будут происходить свободные затухающие колебания. По условию задачи энергия, которая выделяется в колебательном контуре за один период, намного меньше начальной энергии, запасённой в конденсаторе $2C$ , следовательно можно считать, что за первый полупериод колебания гармонические, то есть сила тока в цепи изменяется по закону:

I = I_a\sin\omega t, \qquad (22)

Так как затухания малы:

\omega = \omega_0 = 1/\sqrt{2LC}.

Найдём амплитуду $I_a$ . По закону сохранения энергии:

\frac{2CU_{2C}^2}{2} = \frac{LI_a^2}{2}. \qquad (23)

Из равенств (19) и (23) получим:

I_a = \mathscr{E}\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{\frac{2C}{L}} = \frac{2}{3}\mathscr{E}\sqrt{\frac{C}{L}}. \qquad (24)

После одного полупериода, когда сила тока в цепи обратится в ноль, напряжение на диоде станет отрицательным и диод закроется, поэтому ток в цепи прекратится. Запишем аналитически зависимость силы тока от времени:

I = I_a\sin\omega t \qquad \text{при} \qquad t \leqslant T/2,

I = 0 \qquad \text{при} \qquad t \geqslant T/2.

Построим график зависимости силы тока $I$ в цепи от времени $t$ , учитывая, что затухания малы (рис. 31).

График силы тока I от времени t: полуволна синусоиды от 0 до T/2 с максимумом I_a при T/4 (пунктиры), далее ток равен нулю. — Рис. 31

Зная зависимость силы тока от времени, найдём количество теплоты, которая выделится на катушке индуктивности:

Q_L = \int\limits_0^{T/2} I^2R\,dt = I_a^2R\int\limits_0^{T/2}(\sin\omega t)^2dt = I_a^2R \cdot \frac{T}{4}, \qquad (25)

T \approx 2\pi/\omega_0 = 2\pi\sqrt{2LC}.

Подставив (24) в (25), получим:

Q_L = I_a^2R \cdot T/4 = \mathscr{E}^2\frac{2}{9}\frac{C}{L}R\frac{2\pi\sqrt{2LC}}{4} = \frac{\pi\sqrt{2}}{9}\sqrt{\frac{C^3}{L}}R\mathscr{E}^2.

В установившемся режиме падение напряжения на диоде будет равно напряжению на конденсаторе, но с противоположным знаком, то есть:

U_D = -U_{2C(\text{уст})} \approx -\frac{\mathscr{E}}{3}.

Критерии оценивания

Найдено выражение для напряжения на конденсаторе 2С … 2

Найдено выражение для работы батареи … 2

Найдено амплитудное значение $I_a$ силы тока … 1

Найдена зависимость силы тока в цепи от времени … 1

Построен график зависимости силы тока от времени … 1

Найдено выражение для количества теплоты $Q_R$ … 2

Найдено конечное напряжение $U_D$ на диоде … 1

Схема: сверху резистор r, источник ℰ и ключ K1; посередине последовательно конденсаторы C и 2C; снизу ключ K2, катушка L, резистор R и диод D, подключённые к конденсаторам. — Рис. 18

Оригинал в Архива: region11T.pdf