Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2011, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 8. Брусочки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2011

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Титульный лист

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

XLIV Всероссийская олимпиада школьников по физике

Региональный этап

Теоретический тур

Методическое пособие

МФТИ, 2009/2010 уч.г.

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.

E-mail: physolymp@gmail.com

Общая редакция — Ко́зел С., Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

Подписано в печать 29 ноября 2010 г. в 17:42.

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Авторы задач

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Кармазин С.	1. Кармазин С.	1. Шведов О.
2. Кудряшова Н.	2. Фольклор	2. Александров Д.
3. Слободянин В.	3. Антоненко Д.	3. Слободянин В.
4. Воробьёв И.	4. Слободянин В.	4. Фольклор
5. Фольклор	5. Фольклор	5. Осин М.

Условие

Два бруска на горизонтальной плоскости: верхний брусок 1 смещён вправо относительно нижнего бруска 2 на b0; стрелка скорости v0 вправо; справа вертикальная стенка (штриховка). — Рис. 9

Система, состоящая из двух одинаковых брусков массы $m$ , движется с постоянной скоростью $v_0$ вдоль гладкой горизонтальной плоскости по направлению к вертикальной стенке. Верхний брусок смещён относительно нижнего на расстояние $b_0$ в направлении движения (рис. 9). Через некоторое время система сталкивается со стенкой. Соударение любого из брусков с ней можно считать абсолютно упругим. Коэффициент трения между брусками $\mu$ .

1. Определите смещение $b$ (модуль и направление) верхнего бруска относительно нижнего после того, как прекратится взаимодействие системы брусков со стенкой, а верхний брусок перестанет скользить по нижнему.

2. С какой скоростью $v_k$ после этого будет двигаться система?

3. В каких координатах зависимость $b(v_0)$ будет линейна? Постройте график этой зависимости в соответствующих координатах.

Отговори

Решение

График b от v0²: прямая убывает от b на оси ординат, пересекает ось абсцисс при μgb0 и достигает −b при 2μgb0 (пунктиры), далее горизонтальна. — Рис. 27

Направим координатную ось $Ox$ вдоль вектора скорости брусков. В дальнейшем все величины будем проецировать на эту ось с учётом знака.

После упругого соударения верхнего бруска со стенкой его скорость изменит знак. Силы трения, действующие на бруски, изображены на рисунке 26 (чтобы не загромождать рисунок, здесь опущены нормальные реакции опоры).

Два бруска 1 и 2 у стенки с осью x вправо: верхний брусок 1 со скоростью v0 влево и силой трения F вправо, нижний брусок 2 со скоростью v0 вправо и силой трения F влево; смещение b0; стенка справа. — Рис. 26

F = \mu mg.

Согласно второму закону Ньютона, ускорения брусков:

a_1 = F/m = \mu g, \qquad a_2 = -F/m = -\mu g.

Верхний брусок движется, замедляясь, влево, а нижний — замедляясь, вправо. Обратим внимание на то, что $v_2 = -v_1$ . Ускорение верхнего бруска относительно нижнего:

a_{12} = 2\mu g.

Возможны два случая.

Нижний брусок остановится, не доехав до стенки (одновременно с ним остановится и верхний брусок). При этом кинетическая энергия бруска пойдёт на совершение работы против силы трения. Отсюда определим $b$ .

a_{12}m(b - b_0) = 0 - \frac{m(2v_0)^2}{2}, \qquad b = b_0 - \frac{v_0^2}{\mu g}.

Если $mv_0^2/2 \geqslant \mu mgb_0$ , то нижний брусок доедет до стенки со скоростью $v_k$ , которую можно найти из закона сохранения энергии:

\frac{mv_k^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2} - \mu g b_0 m, \qquad \text{откуда} \qquad v_k = \sqrt{v_0^2 - 2\mu g b_0}.

После упругого столкновения бруска со стенкой его скорость сменит знак, и далее система будет двигаться с этой скоростью как одно целое.

Теперь найдем $b$ :

a_{12}(b - b_0) = \frac{(2v_k)^2}{2} - \frac{(2v_0)^2}{2} = \frac{8\mu g b_0}{2}, \qquad \text{откуда} \qquad b = b_0 - \frac{8\mu g b_0}{2 \cdot 2\mu g} = -b_0.

Таким образом:

b = b_0 - \frac{v_0^2}{\mu g}, \qquad \text{если} \qquad v_0 < \sqrt{2\mu g b_0},

b = -b_0, \qquad \text{если} \qquad v_0 \geqslant \sqrt{2\mu g b_0}.

График зависимости $b(v_0^2)$ (линейные координаты) приведён на рисунке 27:

Критерии оценивания

Получены выражения для $a_1$ , $a_2$ , $v_1$ , $v_2$ с учётом знаков … 2

Получено выражение для $s_{12}$ … 2

Найдено смещение $b$ в случае $v_0 < \sqrt{2\mu g b_0}$ … 2

Найдено смещение $b$ в случае $v_0 \geqslant \sqrt{2\mu g b_0}$ … 2

Построен график зависимости $b(v_0^2)$ … 2

Оригинал в Архива: region11T.pdf