Съдържание

ВсОШ 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.2. Шарик в жидкости

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2012

XLVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Экспериментальный тур

Условие

Известно, что сила сопротивления $F_c$ , действующая со стороны жидкости на движущийся в ней со скоростью $v$ шарик диаметром $d$ , может при определённых условиях выражаться формулой

F_c = A\eta d v,

а при других условиях — формулой

F_c = B\rho_{\text{ж}} d^2 v^2,

где $A$ и $B$ — некоторые безразмерные константы, $\rho_{\text{ж}}$ — плотность жидкости, $\eta$ — её вязкость.

1. Определите, какая из двух приведённых формул лучше описывает зависимость силы сопротивления от скорости выданных вам свинцовых шариков (плотность свинца 11,3 г/см $^3$ ).

2. Определите плотность шариков из неизвестного материала. Считайте плотность жидкости равной плотности воды.

Примечание. Погрешности не учитывать.

Оборудование. Стеклянный сосуд, наполненный жидкостью (высота столба жидкости порядка 40 см), миллиметровая бумага, секундомер, резинки, набор свинцовых шариков (охотничьей дроби) с известными диаметрами, несколько одинаковых шариков из неизвестного материала с известным диаметром.

Отговори

Решение

При установившемся падении шарика в жидкости, сила сопротивления уравновешивается силой тяжести и архимедовой силой:

mg = F_c + F_{\mathrm{A}},

где $m = \pi d^3/6$ — масса шарика. Если сила сопротивления задаётся формулой $F_{\mathrm{c}} = A\eta d v$ , то:

\frac{\pi(\rho - \rho_{\text{ж}}) g d^3}{6} = A\eta d v,

отсюда

v = (\rho - \rho_{\text{ж}}) K_1 d^2,

где $K_1 = \dfrac{\pi g}{6A\eta}$ — некоторая константа, зависящая только от свойств жидкости. Аналогично для случая, если выполняется зависимость $F_{\mathrm{c}} = B\rho_{\text{ж}} d^2 v^2$ :

\frac{\pi(\rho - \rho_{\text{ж}}) g d^3}{6} = B\rho_{\text{ж}} d^2 v^2,

v^2 = K_2 (\rho - \rho_{\text{ж}}) d,

где $K_2 = \dfrac{\pi g}{6B\rho_{\text{ж}}}$ — некоторая константа, зависящая только от свойств жидкости.

Чтобы выведенные соотношения выполнялись, нужно убедиться, что установилось равномерное движение. Для этого зафиксируем резиночками два одинаковых расстояния и сравним время прохождения шарика.

Измеряем время $t$ движения шарика с постоянной скоростью. При этом шарик проходит расстояние $x$ , которое зафиксируем при помощи резинок. Тогда скорость движения шарика $v = x/t$ .

Построим на графике зависимости $t^{-1}(d^2)$ и $t^{-2}(d)$ .

Для шариков каждого диаметра проведём не менее трёх измерений.

Прямую линию, проходящую через ноль, получаем только на первом графике, это означает, что верна формула

F_{\mathrm{c}} = A\eta d v.

Проведём несколько измерений для шариков из неизвестного материала и получим среднее значение $t_{\text{ср}}$ . Значение $\alpha = \dfrac{(\rho - \rho_{\text{ж}})K_1}{x}$ определим как угловой коэффициент наклона прямой на графике $t^{-1}(d^2)$ для свинцовых шариков. Получим,

\frac{1}{t_{\text{ср}}} = \frac{(\rho_0 - \rho_{\text{ж}}) K_1 d_0^2}{x},

\rho_0 = \frac{\rho - \rho_{\text{ж}}}{\alpha t_{\text{ср}} d_0^2} + \rho_{\text{ж}}.

Оригинал в Архива: finalE12.pdf