ВсОШ 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5 (11 кл.). 11 класс — Неисправная ракета

Если источник звука движется, то частота звука, которую слышит неподвижный наблюдатель, может отличаться от испускаемой частоты. Этот эффект называется эффектом Доплера. Выведем формулу эффекта Доплера для неподвижного наблюдателя и движущегося источника.

За период волны $T$ источник сместится на расстояние $S=vT$, а фронт волны приблизится к наблюдателю на расстояние $L=cT$ (рис. 27). Таким образом, расстояние между фронтами в направлении к наблюдателю составит $l=L-S\cos\varphi=(c-v\cos\varphi)T$, а частота:

1. Если ракета летит прямо на датчик, то $\varphi=0$:

и частота звука повышается.

2. При произвольном угле $\varphi$:

Частота $f>f_0$, если проекция скорости ракеты на направление на датчик положительная ($\cos\varphi>0$), и $f<f_0$ в обратном случае. Если угол $\varphi=\pi/2$, то $f=f_0$.

3. Существуют два принципиальных положения датчика: внутри круга, описываемого ракетой, и снаружи него¹. Рассмотрим ситуацию, когда датчик находится снаружи.

В этом случае точки, из которых от ракеты приходят максимальная и минимальная частоты, являются концами ($M_1$ и $M_2$ соответственно) отрезков касания из положения датчика A к траектории ракеты (рис. 28). А так как в силу симметрии $AM_1=AM_2$, то задержки между испусканием и приёмом звука для точек $M_1$ и $M_2$ одинаковы. Это означает, что точки $M_1$ и $M_2$ делят длину окружности в том же отношении, что и точки максимума и минимума на графике частоты делят период сигнала. Максимальная частота $f_{\max}^\text{out}=f_{\max}$.

¹ Вообще говоря, датчик может находиться на траектории окружности, но в этом случае в момент пролетания ракеты над датчиком должен наблюдаться резкий скачок частоты, чего нет на графиках.

Если датчик находится внутри траектории (рис. 29), то угол $\varphi$ между скоростью ракеты и направлением на датчик уже не сможет принимать значения 0 и $\pi$ как в предыдущем случае. Чтобы найти его наибольшее и наименьшее значения, рассмотрим треугольник $OBN_1$. В нём $ON_1=r$ — радиус траектории, $OB=b$ — расстояние от центра траектории до датчика, $\angle ON_1B=\theta=\pi/2-\varphi$, $\angle OBN_1=\gamma$. Заметим, что угол $\theta$ при любом положении точки $N_1$ является острым, и по теореме синусов его синус равен:

Так как $b<r$, то $\sin\theta$ принимает наибольшее значение, когда $\sin\gamma=1$, то есть $\gamma=\pi/2$. А поскольку $|\cos\varphi|=|\sin\theta|$, то $\cos\varphi$ принимает наибольшее и наименьшее значения в точках $N_1$ и $N_2$ — концах хорды с центром в B.

Опять-таки в силу симметрии и равенства $BN_1=BN_2$, точки $N_1$ и $N_2$ делят длину окружности в том же отношении, что и точки максимума и минимума на графике частоты делят период сигнала.

При этом максимальная частота:

Обратимся теперь к графику и заметим, что для обоих датчиков время от максимума до минимума частоты равны: $t_1=t_2=T/4=6\ \text{с}$, где $T=24\ \text{с}$ — период сигнала (период вращения ракеты). Таким образом, в обоих случаях $2\alpha=2\beta=\pi/2$. А так как при этом максимальная частота для датчика 1 больше максимальной частоты для датчика 2, то это возможно только, когда датчик 1 находится снаружи траектории, а датчик 2 — внутри.

Рассмотрим график 1:

откуда найдём частоту $f_0=1{,}056\ \text{кГц}$ и скорость ракеты $v=c/5=66\ \text{м/с}$.

Зная период $T=24\ \text{с}$ и скорость ракеты $v$, определим радиус её траектории:

Теперь можно найти расстояния от центра траектории до датчиков:

Осталось найти угол $\psi$ между OA и OB, который приводит к тому, что между максимумами графиков образуется фазовый сдвиг $\tau=T/3=8\ \text{с}$. Однако, надо учитывать, что так как $a\ne b$, то в этот сдвиг входит разница во времени распространения сигнала от ракеты до датчиков. Таким образом:

Отметим, что вклад от разницы задержек сигналов составляет около 3%, что является погрешностью того же порядка, что и погрешность определения времён по графику.

Окончательно найдём расстояние между датчиками по теореме косинусов: