Съдържание

ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2. Мостик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Экспериментальный тур

Условие

Внутри «серого ящика» находится схема с идеальным источником напряжения, показанная на рис. 1. К выводам, отмеченным $V$ , подключите мультиметр в режиме вольтметра.

Схема моста: верхняя ветвь — резистор R и внешние выводы для Rx, нижняя ветвь — резисторы αR и R; между средними точками ветвей выводы V; обе ветви подключены к источнику напряжения. — Рис. 1

1. Определите напряжение на источнике $U_0$ и коэффициент $\alpha$ .

2. Снимите зависимость показаний вольтметра $U(R_x)$ от сопротивления $R_x$ плеча моста (не менее 11 точек в максимально широком диапазоне). Постройте график в координатах, в которых зависимость будет линейной.

3. С помощью полученного графика определите сопротивление $R_{x0}$ , при котором мост оказывается сбалансированным, и сопротивление $R$ внутри «серого ящика».

Оборудование. «Серый ящик», мультиметр в режиме вольтметра, резисторы известного сопротивления 510 Ом, 1 кОм и 3 кОм, зажимы «крокодил».

Отговори

Решение

Если выводы «серого ящика» оставить разомкнутыми, то по нижней ветви течёт ток, а вольтметр показывает падение напряжения $U_1$ на резисторе $\alpha R$ .

График величины 3U/U0 (от −0,8 до 0,4) в зависимости от Rx, кОм (от 0 до 4,5): возрастающая выпуклая кривая с экспериментальными точками, пересекающая ноль около 2,4 кОм; между 1,5 и 3 кОм точек нет. — Рис. 5

U_1 = \frac{\alpha}{\alpha + 1}U_0.

Если теперь выводы замкнуть накоротко, то вольтметр покажет напряжение:

U_2 = \frac{1}{\alpha + 1}U_0.

Находим коэффициент $\alpha = U_1/U_2$ , а затем напряжение $U_0 = U_2(\alpha + 1)$ .

Для исследования зависимости подключаем резисторы, по разному соединённые между собой. С помощью трех различных резисторов возможно получить 17 различных сопротивлений $R_x$ . Оказывается, что между 1,5 кОм и 3 кОм нет промежуточных значений (рис. 5). В этой области необходимо провести интерполяцию. Для этого проанализируем зависимость теоретически и перейдём к другим переменным. Напряжение, которое показывает вольтметр при подключении произвольного резистора сопротивления $R_x$ :

U = \frac{U_0}{\alpha + 1} - U_0\frac{R_x}{R + R_x}, \qquad (2)

причём заметим, что первое слагаемое соответствует измеренному ранее напряжению $U_2$ .

Перепишем выражение (2) в виде:

\frac{U_0}{U_2 - U} = \frac{R}{R_x} + 1.

Построим график зависимости $U_0/(U_2 - U)$ от $1/R_x$ , и по угловому коэффициенту наклона графика (рис. 6) определим искомое значение $R$ . При $U = 0$ мост сбалансирован, откуда путём интерполяции находим искомое значение $R_{x0}$ .

Также можно определить $R$ исходя из того, что сопротивление $R = \alpha R_{x0}$ .

Найти сопротивление $R$ можно теоретически при любом $R_x$ , рассчитав напряжение $U$ для несбалансированного моста. Для повышения точности рассчитанные $R$ необходимо усреднить.

Линейный график U0/(U − U2) (от 0 до 15) в зависимости от 1/Rx, кОм⁻¹ (от 0 до 3,4) с экспериментальными точками; горизонтальная красная линия на уровне пересечения прямой с осью ординат. — Рис. 6

Оригинал в Архива: finalE14.pdf