ВсОШ 2015, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 7. Коробка с сахаром (2)

• 1080 кг/м³

Задача 3. (Кармазин С.). Так как в коробочке уложено 3 слоя кусочков сахара, то в одном слое n = 168/3 = 56 кусочков. Число 56 можно разложить на простые множители:

$56 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7$. Следовательно, один слой может иметь размеры $28\cdot 2$ кусочка, $14\cdot 4$ кусочка или $7\cdot 8$ кусочков. Первый вариант противоречат условию, так как тогда вдоль самого короткого ребра помещалось бы 2 кусочка. Таким образом, вдоль длинного ребра можно положить либо 14, либо 8 кусочков и, соответственно, размер ребра кубика сахара равен либо $a_1$ = 112мм/14 = 8 мм, либо $a_2$ = 112мм/8 = 14 мм.

В первом случае:

Общий объем сахара равен $V_1$ = 8 мм $\cdot$ 8 мм $\cdot$ 8 мм $\cdot$ 168 штук = 8 6016 мм$^3$ ≈ 86 см$^3$.

Плотность сахара равна $\rho_1 = m/V_1$ = 500 г/86 см$^3$ = 5,8 г/см$^3$ = 5 800 кг/м$^3$. Такая плотность противоречит условию.

Во втором случае:

Общий объем сахара равен

$V_2$ = 14 мм $\cdot$ 14 мм $\cdot$ 14 мм $\cdot$ 168 штук = 460 992 мм$^3$ ≈ 461 см$^3$.

Плотность сахара равна $\rho_2 = m/V_2$ = 500 г/461 см$^3$ ≈ 1,08 г/см$^3$ = 1 080 кг/м$^3$ .

Примерные критерии оценивания

Найдено число кусков в слое … 1 балл

Возможные длины сторон слоя выражены в кусках сахара (по баллу за случай) … 3 балла

Показано, что возможны два варианта раскладки кусочков сахара … 1 балл

Для каждого случая длина ребра куска сахара выражена в мм (или см или м) … 1 балл

Для каждого случая найден объем куска сахара в мм$^3$ (или см$^3$ или м$^3$) … 1 балл

Для каждого случая найдена плотность сахара … 2 балла

Дан числовой ответ … 1 балл