ВсОШ 2016, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10. 11 класс — Конденсатор с утечкой

Рекомендации организаторам

Содержимое серого «ящика» не должно быть видно участникам тура. Номиналы элементов следует закрасить или стереть. Резисторы с конденсатором можно поместить в пластмассовую коробку (например, мыльницу или, в крайнем случае, коробок из-под спичек, который нужно тщательно заклеить со всех сторон). Желательно, на коробке разместить выходные клеммы.

1 Сопротивление резистора $R∼50$–$100$ кОм.

2 Сопротивление утечки моделируется резистором $R_C∼400$–$500$ кОм, подключенным параллельно конденсатору.

3 Емкость конденсатора $C∼350$–$400$ мкФ (используйте электролитический конденсатор, так как обычный конденсатор такой ёмкости, как правило, имеет внушительные размеры и стоит дороже).

4 Секундомер — желательна модель с памятью промежуточных этапов.

5 Мультиметр (у которого не должно быть режима измерения ёмкости, модель типа М-830В).

Эквивалентная схема «серого ящика» (конденсатор с утечкой + резистор R), подключенного к омметру «Ω» показана на рисунке.

Метод № 1 (По скорости заряда конденсатора)

1 Эквивалентная схема «серого ящика» (конденсатор с утечкой + резистор $R$), подключенного к омметру «Ω» показана на рисунке.

2 Снимаем зависимость $R(t)$ показаний омметра от времени (см. таблицу).

В начальный момент времени $U_c=0$ и омметр показывает сопротивление $R(0)=R$.

При малых временах, когда напряжение на конденсаторе мало, практически весь ток омметра идёт через конденсатор:

При этом напряжение на конденсаторе изменяется по закону:

Начальный участок зависимости $R(t)$ показаний омметра от времени имеет вид:

По начальному участку зависимости $R(t)$ (см. график) определяем $R$ и $C$, а также их погрешности.

Примечание. Емкость электролитического конденсатора зависит от частоты и принимает максимальное значение на низких частотах. В связи с этим измеренное в работе значение емкости конденсатора может отличаться в большую сторону от значения, указанного на корпусе.

При больших временах конденсатор полностью заряжен, и весь ток идёт через сопротивление $R_c$, а показания омметра стремятся к константе (см. график)

Следовательно, сопротивление утечки:

Показания омметра от времени $R(t)$

Зависимость показаний омметра от времени $R(t)$ $R(\text{кОм})=51+2{,}3\,t(\text{с})$; $R=51$ кОм; $C≈435$ мкФ; $R=475$ кОм; $R_c=424$ кОм.

Метод № 2 (По скорости разряда конденсатора)

1 Эквивалентная схема «серого ящика» (конденсатор с утечкой $R_C$ + резистор $R$), подключенного к омметру «Ω» показана на рисунке.

2 Перед измерениями разряжаем конденсатор. Для этого замыкаем выходы «серого ящика» мультиметром в режиме амперметра и дожидаемся нулевых показаний прибора.

3 Переходим в режим омметра и измеряем сопротивление в начальный момент времени $R(0)=R$. По истечении времени $T∼10$ минут, когда показания омметра практически перестают изменяться (конденсатор полностью заряжен) измеряем $R(∞)=R+R_C$. Сопротивление $R_C$ находим по формуле: $R_C=R(∞)-R(0)$.

4 Переключаем мультиметр в режим амперметра и снимаем зависимость показаний амперметра от времени $I(t)$. Начальный участок этой зависимости имеет вид

Касательная к начальному участку зависимости $I(t)$ отсекает на оси абсцисс (ось $t$) величину $τ=R_{II}C\to C=τ/R_{II}$.

Система оценивания

Примечание читателя к источнику

Сохранены обе исходные методики, все 23 строки измерений, исходный график и критерии с альтернативными допусками. В подписи асимптоты графика напечатано $R=475$ кОм (без «∞»); это сохранено отдельно от $R=51$ кОм начального участка. Формула начального разряда в исходнике записана как $I_0(1-t/R_{II}C)$ без скобок вокруг знаменателя $R_{II}C$ и с лишней закрывающей скобкой после равенства проводимостей; неоднозначная исходная запись сохранена. По следующей строке ключа $τ=R_{II}C$, но исходная формула не заменена исправленной. Численный расчёт погрешностей не напечатан; ключ указывает определять их по начальному участку и включает критерий. Отдельного графика разряда в PDF нет.