Съдържание

ВсОШ 2016, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 7. 10 класс — Качение шарика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2016

Региональный этап — экспериментальный тур, 7–11 классы, 22 января 2016 г. · 15 т.

Внимание: Бележка към темата

Полностью прочитан родной 34-страничный комплект: десять целых экспериментальных задач, по две для 7, 8, 9, 10 и 11 классов, 31 номерованный запрос в условиях. На страницах 1–10 напечатана олимпиада имени Дж. Максвелла, на страницах 11–34 — всероссийская олимпиада школьников. Все варианты по классам сохранены отдельно, включая разные оборудование и критерии. Полностью сохранены возможные решения, имена авторов, указания организаторам, бланки, таблицы, график, все критерии и допуски. В решениях соли и конденсатора нет отдельного численного расчёта погрешностей. Исходные несогласованные обозначения и записи сохранены с примечаниями читателя. Ключ назван «Возможное решение»; авторство организаторов сверх напечатанных имен по архивному PDF не установлено.

Исходные заголовки и группировка

Региональный этап олимпиады имени Дж. Максвелла по физике. 22 января 2016 г. (7 и 8 классы, страницы 1–10).

Региональный этап всероссийской олимпиады школьников по физике. 22 января 2016 г. (9, 10 и 11 классы, страницы 11–34).

Примечание читателя к источнику: родной PDF содержит условия и ключи в одном документе. Единственный явно номерованный заголовок задачи — «Задание 2» у ластика для 9 класса; порядок остальных задач следует родным страницам, без выдуманных исходных номеров. Для 7 и 8 классов каждая задача имеет критерии на 10 баллов, для 9–11 классов — на 15 баллов. Суммарный балл за все разные классы и время в исходнике не напечатаны. Каталог предварительно перечислял восемь задач; полный источник содержит ещё обе задачи для 11 класса.

Условие

Оборудование: алюминиевый желоб (уголок), штатив с лапкой, металлический шарик, лист линованной бумаги, копировальная бумага, миллиметровая бумага, рулетка (или линейка длиной 50 см), крышка от картонной коробки (для ограничения области перемещения шарика по столу), скотч (по требованию).

Задание

Исходная фотография установки с желобом, штативом и приемной площадкой

Рис. 1. Высоты H/h, угол α и горизонтальное расстояние l

1 Задание: Соберите установку, аналогичную приведенной на фотографии. Отметьте на жёлобе точку «старта». Установите уголок так, чтобы точка «старта» оказалась над нижним краем жёлоба на высоте $H≈20$ см (рис. 1). Нижний край жёлоба должен располагаться на расстоянии $h≈15$ – $20$ см от поверхности стола. Установите шарик в точку «старта». Предоставьте шарику возможность скатиться по желобу и определите расстояние $l$ по горизонтали, которое шарик пролетел.

2 Проведите аналогичные измерения для 6–7 различных значений высоты $H$ при одной и той же точке «старта». Для каждой высоты $H$ проведите несколько измерений и усредните результаты. Полученные данные занесите в таблицу.

3 Обозначьте через $\left(E_X=\frac{m\upsilon_x^2}{2}\right)$ ту часть кинетической энергии шарика, которая обусловлена его поступательным движением вдоль горизонтальной оси $X$ в момент отрыва шарика от жёлоба.

4 Обозначьте символом $Δ\textit{П}$ изменение потенциальной энергии шарика при его скатывании по желобу с высоты $H$ .

5 Введите коэффициент $k=Δ\textit{П}/E_X$ . Пусть $α$ — угол наклона жёлоба относительно горизонта.

6 Выразите коэффициент $k$ через параметры установки: $l$ , $h$ , $H$ , $\operatorname{tg}(α)$ .

7 Постройте график зависимости $y(x)$ , где $y=k\cos^2α$ , а $x=H$ . В предположении, что $y=ax+b$ , определите коэффициенты $\textit{а}$ и $b$ , Оцените погрешность полученных значений.

Решение

Возможное решение. Слободянин В.

Теоретическая часть

Пусть сразу после отрыва от желоба шарик имел скорость $\upsilon$ и упал на стол на расстоянии $l$ от края желоба (рис. 1). Проекция его скорости на горизонтальное направление равна $\upsilon_x=\upsilon\cos α$ , а на вертикальное — $\upsilon_y=\upsilon\sin α$ . Здесь $α$ — угол, который образует желоб с горизонтальной плоскостью. Время свободного падения шарика $t=l/\upsilon_x$ . В проекции на вертикальную ось движение шарика удовлетворяет уравнению:

h=\upsilon_yt+\frac{gt^2}{2}=l\frac{\upsilon_y}{\upsilon_x}+\frac{gl^2}{2\upsilon_x^2}=l\operatorname{tg}α+\frac{gl^2}{2\upsilon_x^2}.

Из этого уравнения получаем выражение для кинетической энергии шарика, обусловленное его поступательным движением вдоль оси $X$ :

m\frac{\upsilon_x^2}{2}=\frac{mgl^2}{4(h-l\operatorname{tg}α)}.\qquad (1)

Изменение потенциальной энергии шарика при его скатывания по желобу с высоты $H$ : $Δ\textit{П}=mgH$ .

Отсюда находим искомый коэффициент

k=\frac{4H(h-l\cdot\operatorname{tg}α)}{l^2}.\qquad (2)

Экспериментальная часть

Для различных высот $H_i$ снимаем серию измерений и заполняем таблицу.

Таблица 14

$H_i$ , см	20	24	28	32	36	40
$l_1$
$l_2$
$l_3$
$l_4$
$l_5$
$l_6$

График зависимости $y(x)$ должен представлять собой горизонтальную прямую $y≈1{,}8$ .

Погрешность не должна превосходить 10%.

Таблица 14. Исходный незаполненный бланк шести серий измерений

Комментарий к результату эксперимента (Для жюри)

Момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр масс равен $J=\frac25mR^2$ . Расстояние от горизонтальной оси, проходящей через центр масс шарика до точки касания желоба шариком равно $R/\sqrt2$ . Скорость центра масс, катящегося шарика, равна $\upsilon_C=ωR/\sqrt2$ . По теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции шарика, относительно линии АА, проходящей через точки касания желоба шариком, равен

J_{AA}=\frac25mR^2+m(R/\sqrt2)^2=\frac9{10}mR^2.

Из закона сохранения энергии

mgH=\frac{J_{AA}ω^2}{2}=\frac{ω^2}{2}\frac9{10}mR^2=\frac95\frac{m\upsilon_C^2}{2}.

Отсюда найдем ту часть кинетической энергии шарика, которая обусловлена его поступательным движением:

K_{\text{пост}}=\frac12m\upsilon_C^2=\frac59mgH.

Отношение $k\cos^2α=\frac{Δ\textit{П}}{K_X}=\frac95=1{,}8$ . Фактически, из-за наличия трения, кинетическая энергия оказывается несколько меньше теоретического значения, а коэффициент $k\cos^2α>1{,}8$ .

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Получено выражение (1)	4
Получено выражение (2)	1
Снята серия (5–6) измерений и заполнена таблица 1. По 1 баллу за каждое измерение (если измерений больше 5 — то ставим 5 баллов)	5
Построен график $k\cos^2α$ от $H$	3
Найдено среднее значение коэффициента $k\cos^2α$	1
Оценена погрешность коэффициента $k\cos^2α$	1

Примечание читателя к источнику

Номер пустой таблицы в ключе — «Таблица 14», в критериях — «таблица 1»; оба сохранены. В условии запрошены 6–7 высот, в критериях указана серия 5–6 с максимумом 5 баллов. В комментарии жюри буквально напечатано $k\cos^2α=Δ\textit{П}/K_X$ , хотя непосредственно перед этим выведена энергия $K_{\text{пост}}$ ; этот исходный индекс не исправлен. Готового экспериментального графика или численных измерений в исходнике нет. Незаполненный бланк сохранен как таблица и исходный рисунок.

Оригинал в Архива: region16E.pdf · решение от архива: region16E.pdf