ВсОШ 2020, Регионален етап, 10. клас — Задача 2. Сосчитай шарики

• 200000

  Окончательно: $N_{\text{ш}} = (2{,}0 \pm 0{,}5)\cdot 10^5$ (для пакета, использованного в возможном решении).

Возможное решение.

1. Проведём опыты с прозрачной коробочкой. Так как находящееся внутри неё пшено является сыпучим веществом, то можем заметить, что при наклоне коробочки до некоторого угла пшено сохраняет занимаемую им форму, а после превышения предельного угла пшено лавинообразно пересыпается. Заметим, что, если коробочку установить под некоторым углом и интенсивно постучать по боковым стенкам, создав вибрацию, то поверхность пшена оказывается параллельна горизонту.

Также заметим, что если стучать по коробочке вертикально, то поверхность пшена не всегда оказывается параллельна горизонту.

2. Расположим непрозрачную коробочку вертикально и постучим по её боковым стенкам, тогда пшено расположится так, что примет форму параллелепипеда. Установим коробочку на линейку и начнём плавно увеличивать угол наклона линейки к горизонту. Нам нужен угол, при котором коробочка начнёт переворачиваться. Мы сталкиваемся с проблемой, что коробочка начинает соскальзывать с линейки раньше, чем переворачивается, так как трения о линейку недостаточно. Для решения проблемы прицепим к линейке скрепку так, чтобы она образовала небольшой упор (на рисунке скрепка схематично обозначена четырьмя чёрными кружочками). Так как скрепка тонкая, то созданный ею упор не повлияет на моменты сил, но позволит коробочке не соскальзывать.

3. Повторим опыт с наклоном плоскости и убедимся, что коробочка начинает переворачиваться до того, как пшено внутри неё начинает пересыпаться. Это можно понять двумя способами:

1. по звуку (когда пшено пересыпается, это слышно);

2. использовать прозрачную коробочку и наклонить её на такой же угол.

Для угла, при котором начинается переворот коробочки, из уравнения моментов сил относительно правого нижнего угла коробочки получим: $h_{\text{цм}} = \frac{l}{2}\cdot\mathrm{ctg}\alpha_1$.

Тогда уровень пшена в коробочке составляет $h = 2h_{\text{цм}} = l\cdot ctg\alpha_1$.

Измерим ширину $l$ и глубину $b$ коробочки. $l = 47$ мм, $b = 39$ мм.

Угол $\alpha_1$ определим через высоту конца линейки над столом $H$ и длину линейки $L$.

Для повышения точности проведём опыты несколько раз. Очень важно увеличивать угол наклона плавно и медленно, не создавая вибрации и толчков, из-за которых коробка может начать раньше опрокидываться. $L = 25$ см.

4. Теперь мы знаем объём, занимаемый пшеном в коробке:

5. Для того, чтобы узнать сколько шариков входит в этот объём, есть два варианта:

1. измерить объём, занимаемый пшеном в прозрачной коробочке, и посчитать количество шариков (крупинок) в ней;

2. определить диаметр шарика и рассчитать плотность упаковки.

6. Выберем второй путь. Для измерения диаметра шарика выложим 50 шариков в ряд и измерим длину ряда. Для формирования ряда можно согнуть миллиметровку и затем насыпать шарики в место сгиба.

Длина ряда $L_{\text{р}} = 10{,}9$ см, количество шариков $N = 50$ шт, тогда диаметр шарика:

Объём одного шарика $V_{\text{ш}} = V_{\text{ш}} = \frac{\pi}{6}D^3 = 0{,}54\ \text{мм}^3$.

7. Можно рассмотреть разные варианты плотной упаковки.

1. Объёмно-центрированная кубическая решётка: элементарной ячейкой является куб, в каждой из вершин которого находится центр зерна, и ещё у одного центр совпадает с центром куба. Найдём плотность упаковки такой решётки: $k = \frac{V_0}{V_{\text{я}}}$, где $V_0 = NV_{\text{з}}$ – объём, занимаемый зёрнами, $N$ – число зёрен, приходящихся на одну ячейку, $V_{\text{я}} = a^3$ - объём ячейки. Ребро куба $a$ можно связать с диаметром зерна: $a\sqrt{3} = 2D$ (на большой диагонали куба укладывается два диаметра зерна). $N$ подсчитаем таким образом: каждое из 8 зёрен, центры которых находятся в вершинах куба, принадлежит 8 соседним ячейкам, поэтому на каждую ячейку приходится по 1/8 зерна, и ещё одно зерно находится в центре куба: $N = 8\cdot\frac{1}{8} + 1 = 2$.

После подстановки $k = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0{,}68$.

2. Гранецентрированная решётка. Атомы находятся в вершинах куба и на серединах всех граней. В этом случае:

$a\sqrt{2} = 2D$, $N = 8\cdot\frac{1}{8} + 6\cdot\frac{1}{2} = 4$, $k = \frac{\pi\sqrt{2}}{6} \approx 0{,}74$.

3. Стандартная кубическая решётка. $a = D$, $N = 8\cdot\frac{1}{8} = 1$, $k = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52$.

При решении задачи можно было взять любой из вариантов. Опыт, проведённый с заполнением пустот между зёрнами водой, показывает, что в реальности $k = 0{,}62$.

8. Примем $k = 0{,}6$. Объём занимаемый одним зёрнышком, равен $V_{\text{ш}}' = \frac{V_{\text{ш}}}{k} = 0{,}90\ \text{мм}^3$.

9. Тогда количество шариков равно $\text{N}_{\text{ш}} = \frac{V}{V_{\text{ш}}'} = 2\cdot 10^5$ .

10. Оценим погрешность: $\Delta\mathrm{ctg}\alpha_{1_{\text{ср}}} = \frac{\sum|ctg\alpha_i - ctg\alpha_{\text{ср}}|}{3} = 0{,}04$; $\Delta D = \frac{2\text{мм}}{N} = 0{,}04\ \text{мм}$; $\Delta k = 0{,}1$

у$\varepsilon N_{\text{ш}} = 3\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta k}{k} + \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b} = 0{,}27$; $y\Delta N_{\text{ш}} = N_{\text{ш}}\bullet\ \varepsilon N_{\text{ш}} = 0{,}5\cdot 10^5$.

Окончательно: $\text{N}_{\text{ш}} = (2{,}0 \pm 0{,}5)\cdot 10^5$

Критерии оценивания:

Примечание: Если вместо расчёта плотности упаковки подсчитывается количество шариков в некотором объёме, то за пункты 6 и 7 баллы ставятся следующим образом: если число посчитанных зёрен более 150, то полный балл, если равно или более 50, то по 1 баллу за каждый пункт, если менее 50, то 0 баллов.

Требования к оборудованию.

1. Непрозрачная коробочка с зерном – изготавливается из пакета сока. Высота пакета: 11-13 см, размеры основания пакета: 4-5 см, форма пакета – параллелепипед. Пакет аккуратно вскрывается сверху по шву, содержимое выливается, пакет промывается и высушивается. После этого внутрь засыпается пшено. Объём пшена должен составлять примерно ¾ от объёма пакета, и количества зерна во всех пакетах должно быть одинаковым. Затем пакет запечатывается и заклеивается с помощью скотча так, чтобы участники не могли получить доступ к его содержимому.

2. Две деревянные линейки – длиной 25 см, в сечении – прямоугольные. Толщина линейки должна быть около 2 мм, чтобы, с одной стороны, она мало прогибалась под весом пакета, с другой стороны - на неё можно было надеть канцелярскую скрепку.

3. Канцелярская скрепка – обычная, без пластикового покрытия, среднего размера. Скрепка должна надеваться на линейку и держаться на ней.

4. Прозрачная коробочка с зерном – изготавливается из прозрачной коробочки из-под драже «тик-так» или аналогичной. Содержимое коробочки удаляется и внутрь неё насыпается то же самое пшено. примерно на половину объёма. У детей должна быть возможность доступа к пшену, насыпанному в коробочку (крышку заклеивать не нужно).

5. Лист миллиметровки формата А5.

ВАЖНО!!! Если поставить упаковку из-под сока с пшеном на линейку (пшено должно занимать форму параллелепипеда) и начать её наклонять, то коробочка должна начать соскальзывать с линейки до того, как начнёт переворачиваться. При этом, если коробочку пытаться перевернуть на горизонтальной поверхности, то она должна начинать переворачиваться до того, как зерно внутри начнёт пересыпаться.