Съдържание

ВсОШ 2020, Регионален етап, 11. клас — Задача 2. Упругая лента

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2020

LIV Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Экспериментальный тур. 25 января 2020 г. · 25 януари 2020 г.

Условие

Изгиб подвешенной за концы резиновой ленты определяется равновесием упругих сил и сил тяжести. Для однородно растянутой ленты её натяжение $T = ES\Delta L/L$ , где $E$ модуль Юнга, $S$ и $L$ площадь сечения и длина ленты в нерастянутом виде, $\Delta L$ её удлинение. Закрепим концы ленты на одной горизонтали на расстоянии, равном её длине $L$ в нерастянутом виде (рис.1). Провисшая под собственным весом лента образует с горизонталью некоторый угол $\varphi$ , а середина ленты ниже этой горизонтали на некоторое расстояние $h$ , называемое стрелой прогиба.

Схема: горизонтальная планка на двух опорах; между двумя точками на расстоянии L провисает лента, образующая у концов угол φ с горизонталью. — рис.1

1. При помощи предложенного оборудования, измерьте стрелы прогиба $h$ не менее чем для 10 значений длины ленты в ненатянутом виде $L$ в диапазоне от 30 до 120 см. Результаты представьте в виде таблицы и графика $h(L)$

2. Используя полученные вами в п.1 экспериментальные результаты, считая, что $h = AL^n$ , при использовании графической обработки определите значение $n$ ( $n$ – не обязательно целое число). Сравните полученный результат с теоретической моделью в п.1. Оцените погрешность определения $n$ .

3. При $\varphi \ll 1$ или $h \ll L$ ленту можно считать почти однородно растянутой по дуге окружности. Выведите в этом приближении теоретическое выражение для зависимости $h$ от $L$ , считая заданными: плотность резины $\rho$ , модуль Юнга $E$ , ускорение свободного падения $g$ . В пределе малых углов можно использовать следующие приближения:

\sin\varphi \cong \varphi - \varphi^3/6;\ \cos\varphi \cong 1 - \varphi^2/2;\ \operatorname{tg}\varphi \cong \varphi + \varphi^3/3.

Сравните полученную формулу с результатом, полученным в п.2

4. Используя теоретическую зависимость, выведенную Вами в п.3 и результаты, полученные в п.1, определите значение модуля Юнга $E$ . Плотность резины $\rho = 1{,}25$ г/см $^3$ , ускорение свободного падения $g = 9{,}8$ м/с $^2$ . Оцените погрешность определения $E$ .

Оборудование: дюралевый уголок длиной 150 см; два бруска 15х10х3см как опоры; тонкая резиновая лента длиной 140 см и шириной 2-3 см (отрезать от резинового медицинского бинта); два зажима для фиксации ленты на уголке (из гвоздя и кольцевой «денежной» резинки, или короткая деревянная линейка и канцелярская клипса); мерная лента; миллиметровая бумага для построения графиков; скотч.

Решение

Возможное решение. Под длиной резиновой ленты понимается длина её участка между фиксирующими зажимами. С помощью мерной ленты размечается уголок и резиновая лента, положенная сверху на горизонтальную или даже наклонную поверхность уголка. После фиксации зажимами уголок поворачивают так, чтобы резиновая лента могла свободно провисать от горизонтальной поверхности. К другой стороне уголка (вертикальной) прикрепляем скотчем миллиметровую бумагу, и для указанных значений $L$ измеряем стрелу прогиба.

Результаты измерений вносим в таблицу, с дополнительными столбцами для дальнейшей обработки.

Строим график зависимости $\ln h\,(\ln L)$ . По угловому коэффициенту определяем величину $n$ . С учётом разброса экспериментальных данных с помощью этого же графика оцениваем погрешность определения $n$ .
При $\varphi \ll 1$ или $h \ll L$ можно считать, что лента имеет постоянную линейную плотность и растянута по дуге окружности некоторого радиуса $R$ . Раз горизонтальная проекция натяжения неизменна, то $T\cos\varphi = T_o$ , где $T_o$ натяжение в нижней точке, а $T$ натяжение вблизи точки подвеса. Отсюда для малого $\varphi$ имеем $T \cong T_o$ .

Из равновесия по вертикали $2T\sin\varphi = \rho g L S$ , а тогда $T \cong \rho g L S/2\varphi$ .

Относительное удлинение $\Delta L/L = 2R(\varphi - \sin\varphi)/2R\sin\varphi \cong \varphi^2/6$ .

После подстановок из $T = ES\Delta L/L$ находим для модуля Юнга $E = 3\rho g L/\varphi^3$ .

Так как $h = R(1 - \cos\varphi)$ , а $L = 2R\sin\varphi$ , то $\varphi = 4h/L$ , а $E = 3\rho g L^4/64h^3$ .

Использованы приближения: $\sin\varphi \cong \varphi - \varphi^3/6$ ; $\cos\varphi \cong 1 - \varphi^2/2$ ; $\operatorname{tg}\varphi \cong \varphi + \varphi^3/3$ .

Для определения модуля Юнга можно построить график зависимости $h\left(L^{4/3}\right)$ и по наклону графика определить $E$ . Другая возможность решения – расчёт по полученной формуле зависимости $h(L)$ значений $E$ для разных $L$ с последующим усреднением.

Критерии оценивания

Наличие таблицы экспериментальных результатов по п.1 (количество точек не менее 10) – (по 0,4 балла за точку. Точки, отличающиеся друг от друга по $L$ менее, чем на 5 см, считаются за одну!) 4 балла.

Примечание. Экспериментальные результаты, значимо (более чем на 15%) отличающиеся от контрольных значений, полученных жюри при тестировании оборудования, не учитываются!

Максимальная оценка за пункт – 4 балла.

Построен график $h(L)$ . При этом график хорошо читается, подписаны координатные оси, выбран удобный масштаб и т.д. При выполнении указанных требований 1 балл.

При недостатках в построении графика оценка за график может быть снижена на 0,5 балла.

Максимальная оценка за пункт – 1 балл

Определено значение $n$ (п.2) при обязательном построении графика в логарифмическом масштабе. Если полученное значение $n$ попадает в диапазон значений от 1,15 до 1,5, ставится 2,5 балла.

В диапазоне от 1,05 до 1,6 ставится 1,5 балла. За результат в диапазоне от 0,9 до 1, 75 ставится 0,5 балла.
Проведена оценка погрешности определения $n$ с помощью графика в логарифмических координатах – 0,5 балла.

Максимальная оценка за пункт – 3 балла

При выводе теоретической зависимости $h(L)$ обоснованно получено выражение

h = \left(\frac{3\rho g L^4}{64E}\right)^{1/3}.

3 балла.

Максимальная оценка за пункт – 3 балла.

При обработке экспериментальных результатов (п.1) с использованием теоретической зависимости $h = \left(\dfrac{3\rho g L^4}{64E}\right)^{1/3}$ определены значения модуля Юнга резины $E$ .

5.1 - использован график в координатах $h\left(L^{4/3}\right)$ или рассчитаны значения модуля Юнга по полученной в п.3 формуле $h(L)$ , при этом определено среднее значение для различных $L$ – 1,5 балла

5.2 Полученное значение модуля Юнга попадает в диапазон

Диапазон	Баллы
3,0 - 4,0 МПа	2 балла
2,5 - 4,5 МПа	1,5 балла
2,0 - 5,0 МПа	1 балл
1,0 - 6,0 МПа	0,5 балла

Примечание. модули Юнга резиновой ленты могут отличаться в зависимости от региона и т.д. В этом случае жюри вправе скорректировать диапазоны оценивания модуля Юнга по своим данным, полученным при тестировании оборудования.

5.3 – оценка погрешности определения модуля Юнга – 0,5 балла.

Максимальная оценка за пункт – 4 балла

Оригинал в Архива: tasks-phys-11-prak-reg-19-20.pdf · официални решения: ans-phys-11-prak-reg-19-20.pdf