ВсОШ 2022, Регионален етап, 10. клас — Задача 2. Э-10.2. Задание

• $m = \rho \frac{L/2-Y}{X-Y} L\pi \left(\frac{S}{2N\pi}\right)^2$

  Оценка относительной погрешности в официальном решении: $\epsilon_m \approx 0{,}13$.

Э-10.2. Возможное решение. Имея полоску миллиметровой бумаги, можно измерить геометрические размеры цилиндра: его длину $L$ и диаметр $D$. Эти параметры позволяют вычислить объём V цилиндра: $V = L\pi D^2/4$.

Длина находится прямым измерением: прикладыванием цилиндра к миллиметровой бумаге; при этом точность измерения длины определяется ценой деления миллиметровой бумаги и составляет $\Delta_L = 1\ \mathrm{мм}$. Для нахождения с достаточной точностью диаметра цилиндра его можно без проскальзывания прокатить вдоль полоски миллиметровой бумаги и измерить перемещение $S$ оси цилиндра, который сделал $N$ оборотов. Формула для нахождения диаметра цилиндра:

Для нахождения массы цилиндра проделаем следующие опыты:

Опыт №1. Концы нити с помощью канцелярских зажимов закрепим на краю стола. К середине нити крепим исследуемый стержень. Заметим, что горизонтальное положение равновесия стержня получается при креплении нити к месту, не соответствующему середине стержня. Измерим расстояние $X$ от места крепления нити до ближайшего конца стержня.

Опыт №2. Повторим первый опыт, но теперь погрузим стержень в кювету с водой так, чтобы он был полностью погружён в воду, не касался стенок и дна кюветы и находился в состоянии горизонтального равновесия. При этом нам придётся изменить точку крепления нити. Измерим новое расстояние $Y$ от места крепления нити до ближайшего конца стержня.

Одно из условий равновесия – это равенство нулю суммарного момента всех сил, действующих на стержень. Осью вращения в обоих опытах будем считать точку крепления нити. Из первого опыта следует, что центр масс стержня находится на расстоянии $X$ от одного из его концов. Для второго опыта суммарный момент сил тяжести и выталкивающей силы со стороны воды должен быть равен нулю.

$mg(X-Y) - \rho g V(L/2-Y) = 0$, отсюда: $m = \rho V \frac{L/2-Y}{X-Y} = \rho \frac{L/2-Y}{X-Y} L\pi \left(\frac{S}{2N\pi}\right)^2$.

Оценим погрешность: $\epsilon_m = \epsilon_{L/2-Y} + \epsilon_{X-Y} + 2\epsilon_S + \epsilon_L = \frac{2}{43} + \frac{2}{27} + \frac{1}{107} + \frac{2}{154} = 0{,}13$.