ВсОШ 2022, Регионален етап, 7. клас — Задача 2. Параллелепипед

• $\rho = \frac{m_0}{V},\quad V^2 = \frac{m_{ab} m_{ac} m_{bc}}{\sigma^3}$

  Экспериментальная задача; численное значение зависит от выданного бруска.

7.2. Возможное решение (из 20 баллов). Построим график зависимости

Приложим брусок к листу бумаги одной гранью, обведем его и повторим эту процедуру так, чтобы покрыть максимально возможную площадь листа прямоугольниками площадью $ab$ ($n$ прямоугольников размещаем плотно, без зазоров). Вырежем получившуюся фигуру и с помощью весов определим её массу: $M_{ab} = m_{ab}\, n$. По существу, мы используем метод рядов.

Площадь одной грани $S_{ab} = ab$, а масса бумажного прямоугольника с площадью $S_{ab}$ равна $m_{ab} = M_{ab}/n$. Они связанны соотношением $m_{ab} = \sigma S_{ab} = \sigma ab$.

Повторим те же измерения для двух других граней: $ac$ и $bc$. Получим систему уравнений:

$m_{ab} = \sigma S_{ab} = \sigma ab$; $\quad m_{ac} = \sigma S_{ac} = \sigma ac$; $\quad m_{bc} = \sigma S_{bc} = \sigma bc$.

Перемножая эти три уравнения, получим: $m_{ab} m_{ac} m_{bc} = \sigma^3 (abc)^2 = \sigma^3 V^2$, где $V$ – объем бруска. Можем рассчитать численное значение $V^2$, а $V$ определим с помощью графика $y = x^2$.

С помощью весов найдем массу $m_0$ бруска и, по известным массе и объему, рассчитываем его плотность $\rho = \frac{m_0}{V}$.