Съдържание

ВсОШ 2022, Регионален етап, 9. клас — Задача 2. Пружины

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2022

LVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. 22 января 2022 г. 9 класс · 22 януари 2022 г.

Условие

Система состоит из трёх лёгких пружин и двух лёгких стержней. Коэффициенты жёсткости пружин указаны на рисунке. Верхний стержень на трети своей длины прикреплён к шарнирной опоре.

• Как изменится (в какую сторону и на сколько) длина верхней пружины, если к середине нижнего стержня приложить внешнюю силу $F$ , направленную вертикально вниз?

• Чему равен коэффициент $k_0$ – жёсткости системы, если на неё действовать внешней вертикальной силой, приложенной к середине нижнего стержня?

Углы поворота стержней малы. Пружины остаются вертикальными.

Верхняя пружина жёсткости 2k подвешена к потолку и крепится к левому концу верхнего стержня, опирающегося на шарнир на трети длины; две пружины жёсткости k соединяют концы верхнего и нижнего стержней; за середину нижнего стержня держится человек.

Отговори

Решение

9.2. Возможное решение.

Так как нижний стержень легкий, а внешняя сила прикладывается к его середине, то силы упругости, действующие на стержень со стороны пружин должны быть равны. Обозначим их за $T$ . Из условия равновесия нижнего стержня, $F = 2T$ .
Записывая правило моментов для верхнего стержня относительно шарнира, в предположении, что верхняя пружина растянута силой $T_1$ получим:

$T_1 l + 2Tl = Tl$ , где $l$ – длина одной трети стержня.

Откуда $T_1 = -T$ . Это означает, что наше предположение неверно, и верхняя пружина сжимается силой $T$ .

Воспользовавшись законом Гука, найдём деформацию верхней пружины: $\Delta x_1 = F/(4k)$ .
Абсолютные удлинения нижних пружин одинаковы и равны $\Delta x_2 = F/(2k) = 2\Delta x_1$ .
Найдем кинематическую связь между деформациями пружин и смещением $\Delta x$ точки приложения силы $F$ .

Два рисунка смещений: верхний стержень поворачивается вокруг шарнира (левый конец поднимается на Δx₁, правый опустится на 2Δx₁); нижний стержень параллелен верхнему, его левый конец смещён на Δx₁, правый на 4Δx₁, середина на Δx, за неё держится человек.

Так как верхний стержень жёсткий, то его правый конец сместится вниз на $2\Delta x_1$ . Но деформации нижних пружин тоже $2\Delta x_1$ , следовательно, нижний конец правой пружины опустится на $4\Delta x_1$ . Нижний стержень, останется параллельным верхнему, и нижний конец левой пружины сместится вниз на $\Delta x_1$ .

Из жёсткости нижнего стержня следует, что его середина опустится на $\Delta x = (5/2)\Delta x_1$ .

Запишем закон Гука для всей системы: $F = k_0(5/2)\Delta x_1$ , откуда $k_0 = (2/5)F/\Delta x_1 = (8/5)k$ .

Оригинал в Архива: Ru22-R-9-T_9_Klass_teoretichesky_Tur.pdf