ВсОШ 2023, Road to IPhO — Задача 2. Часть B. Зависимость показателя преломления от длины волны

Road to IPhO. Определение показателя преломления · 6,23 т.

Условие

Часть B. Зависимость показателя преломления от длины волны (6.23 балла)

Теперь жидкость, в которую погружена призма, заменим на неизвестную, зависимость показателя которой от длины волны мы хотим найти. Схема эксперимента остаётся той же. В таблице в листе ответов приведены значения интенсивности $\mathcal{J}_x$ в условных единицах в точках с координатой $x$.

B1 Для каждого $x$ найдите $n$. [0,41 т.]

B2 Найдите для каждого $x$ значение $\sigma$. [1,23 т.]

В прошлой части задачи мы получили зависимость $\sigma(\lambda)$, которая теперь позволит нам восстановить $n(\lambda)$ для неизвестной жидкости. Однако значения $\sigma$, полученные в предыдущей части, не совпадают со значениями, полученными здесь. Чтобы узнать, каким значениям $\lambda$ соответствуют полученные в предыдущем пункте $\sigma$, прибегнем к т.н. линейной интерполяции зависимости $\lambda(\sigma)$.

Суть линейной интерполяции состоит в следующем. Пусть нам известны значения $\lambda_1$ и $\lambda_2$ функции $\lambda(\sigma)$ в точках $\sigma_1$ и $\sigma_2$ соответственно. Если эти точки находятся достаточно близко друг к другу, то с хорошей точностью можно приблизить функцию между этими двумя точками участком прямой. Это позволяет нам приближённо восстановить значения функции для $\sigma_1 < \sigma < \sigma_2$.

Выведем формулу, определяющую $\lambda(\sigma)$. Поскольку функцию мы приближаем линейной, то искомую зависимость можно записать в виде:

Для нахождения $a$ и $b$ заметим, что эта прямая должна проходить через точки $(\sigma_1, \lambda_1)$ и $(\sigma_2, \lambda_2)$. Подставляя их в уравнение (6), получим систему уравнений:

Решая эту систему, получим окончательно:

B3 С помощью линейной интерполяции найдите, каким значениям $\lambda$ соответствуют полученные значения $\sigma$. Поскольку $n$ были вычислены в B1, мы получаем искомую зависимость $n(\lambda)$. [4,1 т.]

B4 Постройте график $n(\lambda)$ в удобном масштабе (кривая должна занимать большую часть графика по обеим осям, оси не обязательно должны начинаться с нуля). [0,49 т.]

Решение

---

Оригинал в Архива: W23E-prob.pdf