ВсОШ 2023, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10.4. Бусинка на стержне

• 1. $v = \sqrt{\sqrt{2}\mu gL}$; ситуация возможна при $\mu < 1$.
• 2. $N_A = \frac{mg(1 - \mu)}{2}$

Первый способ

Поскольку стержень находится в равновесии — равнодействующая сил, действующих на него, должна равняться нулю, а также относительно любой точки должен равняться нулю момент действующих на стержень сил. Поскольку массой стержня можно пренебречь, можно считать, что силы прикладываются к стержню в точках $A$, $B$ и в месте положения бусинки.

Сила реакции со стороны вертикальной стены $\vec{N}_A$ направлена горизонтально, а сила взаимодействия бусинки со стержнем $\vec{N}_{\text{Б}}$ направлена перпендикулярно последнему, поскольку трения между ними нет. Тогда линия действия равнодействующей сил нормальной реакции и трения в точке $B$ — полной реакции опоры $\vec{Q}_B = \vec{N}_B + \vec{F}_{\text{тр}}$ — должна проходить через точку пересечения линий действия $\vec{N}_A$ и $\vec{N}_{\text{Б}}$ по теореме о трёх непараллельных силах. Изобразим это на рисунке.

Поскольку линия действия $\vec{N}_A$ фиксирована, а $\vec{N}_{\text{Б}}$ сохраняет своё направление — точка пересечения линий действия сил перемещается горизонтально. Угол наклона стержня к вертикали составляет 45°, значит смещению бусинки вдоль стержня на величину $x$ соответствует смещение пересечения линий действия сил на величину $x\sqrt{2}$.

Возможны два варианта начала движения стержня: скольжение по полу и стенке или вращение относительно нижнего конца. Предположим, что стержень начнёт проскальзывать. Это произойдет в тот момент, когда $\vec{Q}_B$ более не сможет удовлетворить условию пересечения линий действия сил, т.е. угол $\varphi$ превысит величину $\operatorname{arctg}\mu$.

Отсюда найдём перемещение бусинки $x_{max}$:

Стержень придет в движение до момента удара бусинки о пол, если $x_{max} < L$, отсюда получаем условие на коэффициент трения, при котором возможна описанная ситуация $\mu < 1$. Определим скорость бусинки из закона сохранения механической энергии:

Второй способ

Расставим силы, действующие на стержень, и запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

и правило моментов относительно точки $B$:

Из второго закона Ньютона для бусинки в проекции на ось, перпендикулярную стержню, получим, что $N_{\text{Б}} = mg/\sqrt{2}$. Решив систему уравнений, найдем:

Проскальзывание начнется при $F_{\text{тр}} = \mu N_B$, то есть если

Отсюда при условии, что $x < L$, получим $\mu < 1$. До начала проскальзывания бусинка движется равноускорено с ускорением $a = g/\sqrt{2}$. Начальная скорость бусинки равна нулю, поэтому

Силу взаимодействия стержня с вертикальной стенкой также можно определить двумя способами.

Первый способ

Изобразим на рисунке условие равенства нулю равнодействующей сил, действующих на стержень (см. рис.). Обратим внимание, что из второго закона Ньютона для бусинки в проекции на ось, перпендикулярную стержню, $N_{\text{Б}} = const = mg/\sqrt{2}$. Тогда имеем

В момент отрыва $\operatorname{tg}\varphi = \mu$, поэтому

Как мы выяснили выше, описанная в условии ситуация возможна только при $\mu < 1$, тогда $N_A > 0$. Это означает, что наше предположение, о том, что проскальзывание начнется раньше переворота справедливо, а полученные ответы верны.

Второй способ

Так как в момент начала проскальзывания $x = \mu L$,

Как мы выяснили выше, описанная в условии ситуация возможна только при $\mu < 1$, тогда $N_A > 0$. Это означает, что наше предположение, о том, что проскальзывание начнется раньше переворота справедливо, а полученные ответы верны.