ВсОШ 2024, Road to IPhO — Задача 2. Часть В. Критическая точка воды

Road to IPhO. Переход жидкость–пар · 4,5 т.

Бележка

Метод простой итерации (МПИ) — один из простейших методов численного решения уравнений. Чтобы решить уравнение с помощью МПИ, его представляют в виде $x = f(x)$. Подставляя в качестве аргумента функции начальное приближение $x_0$, мы получим первое приближение $x_1$. Далее, подставляя $x_1$ в качестве аргумента функции, мы получим уже второе приближение $x_2$, и т.д. Функцию $f(x)$ всегда можно выбрать так, чтобы разница между последовательными приближениями уменьшалась, а результат вычислений становился всё ближе к правильному ответу. Метод простой итерации удобно использовать для численного нахождения величин, заданных неявно как решение некоторого уравнения. Примечание: в задаче используется функция $\operatorname{th} x$ — гиперболический тангенс. Она определяется как

$$\operatorname{th} x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}.$$

Несложно видеть, что $|\operatorname{th} x| < 1$. Функция, обратная к гиперболическому тангенсу, обозначается $\operatorname{arth} x$. Примечание: во всей задаче буквой $t$ обозначается температура в $^{\circ}\mathrm{C}$, а буквой $T$ — температура в K.

Условие

Как вы могли заметить, удельная теплота испарения жидкости с ростом температуры уменьшается, обнуляясь при температуре выше критической. Таким образом, переход жидкость-пар при температуре выше критической не предполагал бы изменения энергии взаимодействия молекул, т.е. жидкость ничем не будет отличаться от пара.

Такое состояние вещества при температуре выше $T_{\mathrm{c}}$ называют сверхкритической жидкостью. При этом при температуре ниже $T_{\mathrm{c}}$ жидкость и пар представляют собой разные фазы вещества. В координатах $(p, T)$ (см. рис. 2) граница между ними фактически представляет собой кривую давления насыщенного пара $p_{\mathrm{н}}(T)$. Давление насыщенного пара удовлетворяет уравнению Клапейрона-Клаузиуса

где $\mu$ – молярная масса вещества (для воды $\mu_{\mathrm{в}} = 18.0\ \dfrac{\mathrm{г}}{\mathrm{моль}}$), $R = 8.314\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$ — универсальная газовая постоянная.

Точку $(p_{\mathrm{н}}(T_{\mathrm{c}}), T_{\mathrm{c}})$ называют критической точкой вещества. В этой части мы попробуем оценить давление $p_{\mathrm{c}} = p_{\mathrm{н}}(T_{\mathrm{c}})$ в критической точке.

Поскольку $\dfrac{\mathrm{d}T}{T^2} = -\mathrm{d}\left[\dfrac{1}{T}\right]$, для нахождения $p_{\mathrm{c}}$ удобно построить на миллиметровке график $L\left(\dfrac{1}{T}\right)$ и найти площадь $S$ под ним.

B1 Запишите формулу, которая позволяет с помощью метода простой итерации найти $L\left(\dfrac{1}{T}\right)$ по значениям $\overline{L}_0$ и $\overline{T}_{\mathrm{c}}$, полученным в предыдущей части. [0,3 т.]

B2 С помощью этой формулы найдите зависимость $L\left(\dfrac{1}{T}\right)$ в диапазоне температур от $t = 100\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ до $T_{\mathrm{c}}$.

Примечание: Пересчитайте не менее 20 точек, старайтесь покрыть диапазон однородно. Это увеличит точность ваших дальнейших расчётов. [2 т.]

B3 Постройте график $L\left(\dfrac{1}{T}\right)$ в диапазоне от $t = 100\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ до $T_{\mathrm{c}}$. [0,5 т.]

B4 Вычислите площадь $S$ под графиком. [1 т.]

B5 Выразите давление $p_{\mathrm{c}}$ в критической точке через $S$ и вычислите его с тремя значащими цифрами, если давление $p_{\mathrm{н}}(100\ {}^{\circ}\mathrm{C}) = 1.013 \cdot 10^5$ Па. [0,7 т.]

Решение

---

Оригинал в Архива: PE-prob.pdf