Съдържание

ВсОШ 2026, Заключителен етап — Задача 10. 10-Т5 · Термистор, лазер и диод

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Новый Уренгой, 2026

Внимание: Бележка към темата

Все 62 страницы родного сборника: титул и авторы, 15 целых задач 9–11 классов, 43 номерованных запроса и одна ненумерованная задача, все напечатанные возможные решения и варианты. Дополнительно сохранены три родных листа для построений с Pho.rs: фотография 9-Т1, сетка 9-Т2 и экспериментальный график 11-Т1. Название ссылки последнего листа на внешней странице ошибочно указывает T5; содержимое листа соответствует T1. Источник не печатает баллы, критерии или время. Исходные несогласованности ключа сохранены с отдельными примечаниями. Для масштаба построений используйте исходные PDF.

Титул и авторы родного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Новый Уренгой, 2026 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Антон Вергунов
9-Т2. Александр Ершов
9-Т3. Александр Ершов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Денис Рубцов, Александр Ершов
10-Т1. Алексей Заяц
10-Т2. Иван Гурьянов
10-Т3. Александр Аполонский, Александр Воронцов, Алексей Заяц
10-Т4. Александр Аполонский, Иван Юдин
10-Т5. Алексей Заяц
11-Т1. Павел Ярных
11-Т2. Константин Соломатин
11-Т3. Григорий Расторгуев
11-Т4. Александр Аполонский
11-Т5. Семён Либерман

Ключ в сборнике озаглавлен «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов, каждое задание целиком, все напечатанные методы и заключительный график RLC-метра.

Условие

Десятиклассник Паша, познакомившись на прошедшем региональном этапе со свойствами термистора, решил собрать электрическую цепь, состоящую из источника, ЭДС которого можно регулировать, резистора сопротивлением $r=40\ \text{Ом}$ , а также соединённых между собой параллельно диода и термистора (см. рис. 1). ЭДС источника можно изменять в пределах от $0\ \text{В}$ до некоторого достаточного большого значения $\mathcal E_{\max}$ .

Паше известно, что вольт-амперная характеристика диода имеет вид, представленный на рис. 2, а температурная зависимость сопротивления термистора задаётся формулой

R(t)=R_0/(1+\alpha(t-t_0))^2,

где $R_0=60\ \text{Ом}$ — сопротивление термистора при комнатной температуре $t_0$ (значение константы $\alpha$ мальчик не нашёл). Включив источник и медленно увеличивая его ЭДС, Паша обнаружил, что диод открывается при ЭДС источника $\mathcal E_1=5\ \text{В}$ .

Напряжение на открытом диоде равно $U_0=2\ \text{В}$ . Теплоёмкостью термистора и внутренним сопротивлением источника можно пренебречь. Мощность тепловых потерь пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Термистор во всех экспериментах находится в воздухе, имеющем температуру $t_0$ , не контактируя с другими предметами.

Native complete source/resistor/parallel-diode/thermistor circuit1,r,EMF,plus/minus,temperature symbol.

Complete native diode I/U characteristic2,all axes,U0,origin,vertical conducting segment.

1 Продолжая свои эксперименты, Паша взял мощный лазер и стал светить им прямо на термистор. Оказалось, что диод при этом закрылся и, более того, никакие изменения ЭДС источника не приводили к его открытию! Определите минимальную тепловую мощность $P$ , передаваемую при этом от лазера термистору.

2 Выключив лазер, Паша обнаружил, что диод остался закрытым, несмотря на то, что ЭДС источника была близка к $\mathcal E_{\max}$ . Удивившись, мальчик стал плавно уменьшать ЭДС. При каком максимальном значении ЭДС источника $\mathcal E_2$ диод снова откроется?

Решение

Когда диод открывается, напряжение на нём и на термисторе равно $U_0$ , а сила тока через диод равна нулю. Поэтому сила тока, протекающего через резистор $r$ и термистор, равна $I=(\mathcal E_1-U_0)/r$ . С другой стороны,

I=U_0/R_0\cdot(1+\alpha(t_1-t_0))^2,

где $t_1$ — температура термистора в данном режиме. Приравнивая эти выражения, находим, что

\alpha(t_1-t_0)=\sqrt{\frac{R_0}r\cdot\frac{\mathcal E_1-U_0}{U_0}}-1=0{,}5.

Тепловая мощность, выделяющаяся на термисторе, должна в установившемся режиме рассеиваться в окружающий воздух. Поэтому

\frac{U_0^2}{R_0}\cdot(1+\alpha(t_1-t_0))^2=k(t_1-t_0),

где $k$ — коэффициент в законе Ньютона-Рихмана. Выразим из данного выражения величину $k/\alpha$ :

\frac k\alpha=\frac{U_0^2}{R_0}\cdot\frac{(1+\alpha(t_1-t_0))^2}{\alpha(t_1-t_0)}=0{,}3\ \text{Вт}.

Рассмотрим теперь случай, когда на термистор светят лазером. Запишем условие баланса мощностей при напряжении на термисторе, равном $U$ :

\frac{U^2}{R_0}\cdot(1+\alpha(t-t_0))^2+P=k(t-t_0).

Выразим $U^2$ :

U^2=R_0\cdot\frac{k(t-t_0)-P}{(1+\alpha(t-t_0))^2}\qquad (*)

и найдём максимум этой функции. Обозначая $z=\alpha(t-t_0-P/k)$ , получим

U^2=\frac{R_0k/\alpha\cdot z}{(1+\alpha P/k+z)^2}=\frac{R_0k/\alpha}{\left(\frac{1+\alpha P/k}{\sqrt z}+\sqrt z\right)^2}.

Далее используем неравенство о средних:

U^2\leq U_{\max}^2=\frac{R_0k/\alpha}{4(1+\alpha P/k)}.

Если диод не открывается при любой ЭДС источника,

U_{\max}\leq U_0\Rightarrow P\geq\frac k\alpha\cdot\left(\frac{R_0k/\alpha}{4U_0^2}-1\right)=0{,}0375\ \text{Вт}.

Таким образом, минимальная тепловая мощность, которую должен передавать лазер, чтобы диод закрылся при любой $\mathcal E$ , равна $37{,}5\ \text{мВт}$ .

Для того чтобы понять, почему диод после выключения лазера не открылся, заметим, что выражение () при $P=0$ тоже имеет максимум, а следовательно напряжение на термисторе может быть меньше $U_0$ как при малых токах (и малых ЭДС), так и при больших токах (и, соответственно, больших ЭДС). Подставив в () значения $U_0$ , $R_0$ , $k/\alpha$ и $P=0$ , получим уравнение

\frac{\alpha(t-t_0)}{(1+\alpha(t-t_0))^2}=\frac29,

которое имеет два корня: первый нам уже известен

\alpha(t_1-t_0)=1/2,

а второй — новый

\alpha(t_2-t_0)=2.

Рассчитаем для него ЭДС источника, считая ток через диод равным нулю:

\mathcal E_2=I_2r+U_0=\frac{U_0r}{R_0}(1+\alpha(t_2-t_0))^2+U_0=\frac{9U_0r}{R_0}+U_0=14\ \text{В}.

Таким образом, ЭДС источника надо уменьшить до $14\ \text{В}$ , чтобы диод снова открылся.

Оригинал в Архива: Ru26-T.pdf · решение от архива: Ru26-T.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T1-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T2-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-11T1-sheet.pdf