Съдържание

ВсОШ 2026, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 11-5. Цилиндр

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап, теоретический тур — Москва,2026

Внимание: Бележка към темата

Полный73страничный оригинал лично прочитан.23целые задачи разных классов,57номерованных частей и3единых ненумерованных запроса; все доступные методы решения и исходные фигуры сохранены. Ошибки печатного ключа и отсутствующие отдельные сдаваемые листы честно обозначены. Ключ атрибутирован архиву.

Министерство просвещения Российской Федерации — Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по физике. Теоретический тур. Москва2026.

Авторы задач — Экспериментальный тур

7-T1 — Александр Евсеев
7-T2 — Никита Богословский
7-T3 — Александр Евсеев
7-T4 — Антон Сорокин
8-T1 — Александр Евсеев, Сергей Абдрашитов
8-T2 — Олег Порошин
8-T3 — Ольга Инишева
8-T4 — Денис Рубцов
9-T1 — Александр Ершов
9-T2 — Денис Рубцов
9-T3 — Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4 — Александр Аполонский, Антон Вергунов
9-T5 — Денис Рубцов, Александр Ершов
10-T1 — Григорий Расторгуев, Иван Гурьянов
10-T2 — Александр Аполонский, Александр Киреев
10-T3 — Николай Янушкевич
10-T4 — Александр Аполонский, Иван Юдин
10-T5 — Алексей Заяц
11-T1 — Иван Гурьянов
11-T2 — Николай Янушкевич
11-T3 — Денис Рубцов
11-T4 — Григорий Расторгуев
11-T5 — Александр Воронцов

Примечание читателя: заголовок «Экспериментальный тур» переписан буквально со страницы авторов; обложка, колонтитулы и обозначения T определяют этот пакет как теоретический. Отдельный экспериментальный оригинал Ru26-R-E.pdf к этому источнику не относится.

Подготовка к олимпиадам — исходные ссылки

Физтех-регионам МФТИ предлагает лекции, семинары и тематические задачи для всех классов в открытом бесплатном доступе: os.mipt.ru.

Видеорешения задач регионального этапа: os-lms.mipt.ru.

Исходный QR-код ведет на указанную в оригинале страницу.

Условие

У стеклянного цилиндра плоскостью, параллельной его оси, отрезана часть. Цилиндр лежит плоской поверхностью на листе миллиметровой бумаги (см. рис.). Его сфотографировали с большого расстояния камерой, направленной перпендикулярно листу миллиметровки.

Полная исходная фотография стеклянного цилиндра на миллиметровой бумаге: масштаб, границы цилиндра и преломленные линии

Примечания

Для итоговых геометрических построений и получения числовых значений расстояний и углов, необходимых для решения задачи, используйте фотографию, выданную на отдельном листе.
Не забудьте сдать этот лист вместе с остальными.

1 Определите показатель преломления стекла $n$ .

2 Какая часть радиуса цилиндра отсечена плоскостью?

Решение

Заметим, что по условию фотографирование происходит с большого расстояния, поэтому можно считать, что увеличение цилиндра в направлении его оси отсутствует. Дополнительно можно убедиться в этом, проверив, что точки пересечения линий миллиметровки и их изображений лежат примерно на оси цилиндра.

Теперь исследуем увеличение для параксиальных лучей в направлении, перпендикулярном оси цилиндра. Пусть расстояние от оси цилиндра до плоскости равно $h$ . Будем считать его положительным, если осталось больше половины цилиндра. Рассмотрим точку, смещённую от плоскости симметрии системы на малое расстояние $x$ . Найдём положение её изображения, образованного параксиальными лучами.

Исходная параксиальная схема цилиндра: радиус R, h,H,x,y,Gamma-x, полный ход лучей и углы alpha,beta,gamma

Из закона преломления света получаем:

\gamma=n\beta=\frac{nx}{h+R}.

Запишем геометрические соотношения.

\frac{x(h+H)}h=\Gamma x=\frac{nx(h+H+R)}{h+R}.

Выразим и подставим значение $H$ .

H=h(\Gamma-1),

\Gamma(h+R)=n(\Gamma h+R).

Получаем искомое увеличение:

\Gamma=\frac{nR}{R-(n-1)h}.

Заметим, что мы видим не всю миллиметровку, которую закрывает цилиндр. Такое может быть только в случае $h>0$ , то есть отрезали меньше половины цилиндра. По фотографии видно, что область видимости ограничивают лучи, идущие по касательной к цилиндру.

Исходная схема касательных граничных лучей: весь цилиндр, h,d,2R, угол theta и направления света

Из закона преломления света имеем:

\cos\theta=\frac1n,

d=2(R-h\operatorname{tg}\theta),

\frac d{2R}=1-\frac{h\sqrt{n^2-1}}R.

Теперь достаточно измерить по фотографии $\Gamma$ и $d/R$ . Тогда у нас будет система из двух уравнений с двумя неизвестными.

Проведём ось цилиндра, вертикальную линию миллиметровки и касательную к её изображению в точке на оси цилиндра. Отрезок $CA$ — перпендикуляр из точки касательной на ось цилиндра. Тогда увеличение можно найти по фотографии:

\Gamma=\frac{AC}{AB}\approx2{,}0.

Для поиска области видимости можем воспользоваться подобием: для любой прямой можем определить, какую её часть видно через цилиндр. Воспользуемся горизонтальной линией на миллиметровке: закрыто цилиндром $22\text{ мм}$ , видно через цилиндр $9\text{ мм}$ .

\frac d{2R}\approx0{,}41.

Полная исходная фотография с построениями ключа: цилиндр, миллиметровка, A,B,C, красная ось и все касательные

Для удобства введём обозначение $\xi=h/R$ .

\begin{cases} 2=\frac n{1-(n-1)\xi};\\ 0{,}41=1-\xi\sqrt{n^2-1}. \end{cases}

\xi=\frac{0{,}59}{\sqrt{n^2-1}}=\frac{2-n}{2(n-1)}.

Получили уравнение на $n$ , которое можно решить численно: $n=1{,}48$ .

Подставляя полученное значение в формулы для $\xi$ , получаем:

\xi=0{,}54.

При этом искомая величина выражается через $\xi$ :

\frac yR=\frac{R-h}R=1-\xi=0{,}46.

Примечание читателя: полный исходный пакет и отдельные листы

Лично прочитаны все73страницы: обложка и авторы1–2, условия3–21, все доступные возможные решения22–73. Сохранены23целые задачи пяти классов и57печатных номерованных запросов; еще три задачи имеют единый ненумерованный запрос. Каждый класс и каждое самостоятельное исходное задание сохранены отдельно. Ключ11-T2 сам ссылается на10-T3, полное указанное решение присутствует в этом же оригинале и приведено у обеих задач. Архивная атрибуция ключа сохранена; отдельная официальная публикация этого PDF организатором не установлена.

Условие термистора требует сдаваемого отдельного листа с двумя экземплярами графика, а условие цилиндра — отдельной масштабной фотографии для построений. Данный полный пакет содержит один график на странице17, фотографию21 и фотографию с построениями72, но не включает отдельные сдаваемые листы. В полученном полном текущем каталоге папки только теоретический и отдельно принадлежащий экспериментальный PDF. Необретенные отдельные листы не изготовлены и не объявлены полученными. Все имеющиеся изображения сохранены без перерисовки. Печатные ошибки и незавершенная фраза ключа отдельно обозначены в соответствующих решениях.

Оригинал в Архива: Ru26-R-T.pdf · решение от архива: Ru26-R-T.pdf