ВсОА 1996, Заключителен етап, 8–11 клас — Задача 18

• $3.2 \times 10^{26}$ kg

  Около 53 масс Земли. В решении масса пульсара напечатана как «4·10³³ кг» (в условии 4·10³³ г), а формула напечатана как «m = M·Vc/V» вместо m = M·V/Vc — сохранено как напечатано.

Пульсар и его спутник обращаются с периодом $T$ вокруг общего центра масс, расположенного вблизи центра пульсара. Обозначим массу пульсара через $M$, массу спутника – через $m$. Принимаем, что $m \ll M$. Пусть $V$ – скорость пульсара, $V_c$ – скорость спутника, а $R$ и $R_c$ – радиусы их круговых орбит вокруг центра масс. Тогда, орбитальная скорость пульсара, определенная по эффекту Доплера, составит:

В системе отсчета, связанной с центром масс, суммарный вектор импульса спутника и пульсара равен нулю, поэтому

(тот же вывод следует и из определения положения центра масс и равенства периодов: $R/R_c = M/m$, $R_c/V_c = R/V$). Скорость спутника на круговой орбите всегда равна

где G - гравитационная постоянная. Отсюда

или

Подставляя последнее уравнение в первое, получаем:

Подставляя численные значения $M = 4\cdot 10^{33}$ кг, $V = 3$ м/с, $T = 1$ год $= 3{,}16\cdot 10^{7}$ с и $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^{2}\cdot\text{кг}^{-2}$, получаем: $m = 3.2\cdot 10^{26}$ kg, или 53 массы Земли.