ВсОА 1998, Заключителен етап, 8–9 клас — Задача 2
V Российская олимпиада школьников по астрономии и космической физике. Творческо-практический тур, условия задач. Троицк, 7-12 апреля 1998 г. 8-9 класс. · 7 април 1998 г.
Внимание: Бележка към темата
Документ с условиями содержит два варианта (8-9 и 10-11 класс) на разных страницах; вторая задача различается по классам. В данной записи выбран вариант 8-9 класса (страница 1), поскольку официальные решения соответствуют именно этому варианту (список галактик и задача о цепочке астероида).
Условие
В 2098 году астрономы Футурландии, пользуясь стареньким наземным двадцатиметровым телескопом, открыли замечательный во многих отношениях астероид, движущийся по круговой орбите. Оказалось, что видимый путь, пройденный им на небе за пять лет наблюдений, имеет вид куска натянутой цепи с пятью удлиненными звеньями, как бы положенной сверху на веревочку.
Оцените угловой размер «большой оси» звеньев этой цепи и период обращения вокруг Солнца открытого нашими футурландскими коллегами астероида. Перерисовав в тетрадь «цепочку», отметьте на ней точки, в которых блеск объекта достигает минимумов и максимумов.
Отговори
22 а.е.
Также получен период обращения лет и угловой размер «большой оси» звеньев цепи . Максимум блеска — в середине попятного движения (противостояние), минимум — в середине прямого движения (соединение).
Решение
Решим задачу приближенно. Пусть – радиус орбиты тела в а.е., – период его обращения вокруг Солнца в годах. Так как очевидно, что тело довольно далеко, то можно считать, что оно полгода движется прямым движением, а полгода – попятным. За время прямого движения оно смещается (в радианной мере) на из-за параллакса и на из-за «собственного движения» объекта, обусловленного его орбитальным движением. Итого при прямом движении полное смещение составляет
При попятном движении угловые смещения, обусловленные параллаксом и собственным перемещением объекта, очевидно, происходят в противоположных направлениях, т.е. вычитаются, а не складываются. Полное смещение при попятном движении равно поэтому
Чтобы происходило точное "зацепление" звеньев, нужно, чтобы половина смещения при прямом движении в точности равнялась смещению при попятном движении. Это даёт
откуда
Поскольку по третьему закону Кеплера (при использовании единиц “а.е.” и “год”), последнее сообщение дает окончательно:
Третий знак здесь, естественно, неуместен – надо вспомнить о приближении, которое вводится предположением, что и прямое, и попятное движения происходят точно по полгода. Соответствующий период обращения составляет около 100 лет.
«Большая полуось» каждого эллипса цепочки – это смещение объекта на небе за его один синодический период, который в нашем случае практически равен земному году (на 1% больше). Отсюда «большая полуось» – это немного меньше одной сотой длины окружности, то есть около трех с половиной градусов.
Что касается блеска объекта, то максимален он в противостоянии – середине попятного движения, а минимален в соединении – середине прямого движения.
Кстати, компьютерный имитатор видимого движения планет, позволяющий создавать искусственную планету, дает возможность весьма наглядно убедиться, что число а.е. – верное. Прямо на экране видно, что при а.е. звенья цепочки разомкнуты, а при а.е. они перекрываются.
Оригинал в Архива: prob1998tprac.pdf · официални решения: sol1998tprac.pdf