ВсОА 2002, Заключителен етап, 8–11 клас — Задача 5. Геостационарная Луна

• 7.2 60 км

  Оценка официального решения; можно считать правильными ответы от 25 до 100 км.

(М.Г. Гаврилов, февраль 2002, редакция апреля 2002.) Геостационарный спутник всегда "висит" в одной и той же точке неба. То же будет происходить с геостационарным астероидом или Луной.

7.1. Проще всего рассмотреть ситуацию, когда астероид (Луна) «висит» на юге (то есть, в плоскости меридиана). Тогда, если этот объект не находится в тени Земли (это особый вопрос – затмения), ровно в полночь по местному времени будет наблюдаться «полнолуние», в 6 часов утра – третья четверть (астероид или Луна освещается только с восточной стороны), в полдень – новолуние, в 18 часов – первая четверть (объект освещается только с западной стороны). Соответственно, глядя на фазы астероида, можно приблизительно определять время – примерно таким же образом, как мы сейчас определяем, сколько дней прошло после полнолуния или новолуния.

Для ситуации, когда астероид (Луна) «висит» не в плоскости меридиана, нужно будет вводить поправки. «Полнолуние» будет наблюдаться не ровно в полночь по местному времени, а раньше или позже – примерно на столько, на сколько отличаются друг от друга местные времена на меридиане наблюдателя и меридиане геостационарного объекта: раньше, если объект «висит» восточнее, позже, если западнее меридиана наблюдателя. («Примерно» – с точностью до разницы направлений на геостационарный объект из точки наблюдателя и центра Земли.)

Кроме того, в периоды, близкие к равноденствиям, в середине ночи будут регулярно происходить лунные (астероидные) затмения. По ним люди будут определять полночь! (Опять-таки для меридиана, над которым «висит» геостационарное тело. Для других местностей – поправки, аналогичные описанным выше.) Легко оценить, что максимальная продолжительность затмения маленького астероида $\tau$ это $R_{\text{З}}/V$, где $V$ – орбитальная скорость движения Луны (астероида), равная $2\pi(h + R_{\text{З}})/T$, $T$ – сутки, период обращения, а $h$ – высота геостационарной орбиты, равная

Для бытовых целей такая точность определения полночи вполне приемлема. Для Луны продолжительность полной фазы можно вычислить как $(R_{\text{З}} - R_{\text{Л}})/V$, получим порядка 25 минут, при этом периоды полутени до и после полной фазы будут длиться около $R_{\text{Л}}/V$, то есть примерно по 9 минут.

Приведённые вычисления соответствуют центральному затмению, которое будет происходить в дни весеннего и осеннего равноденствий. В другие дни продолжительность полной фазы будет меньше, а вот периоды полутени до и после полной фазы станут продолжительнее. Естественно, что в какие-то дни будут наблюдаться затмения без полной фазы, только с частной.

7.2. Что касается размера астероида, то для того, чтобы человек мог наблюдать его фазы невооружённым глазом, его диаметр должен быть таким, чтобы угловой диаметр был как минимум в несколько раз больше разрешающей способности человеческого глаза. Примем, что это 5 угловых минут, $5' \approx 1{,}5\cdot 10^{-3}$ радиан. Принимая, что расстояние от наблюдателя до астероида составляет в среднем 40 000 км (минимально – это 35 800 от экватора, максимально – 42 200 для полюсов, для средних широт – около 39 000), получаем минимальный размер астероида $40\,000\ \text{км} \times 1{,}5\cdot 10^{-3} \approx 60$ км. Ответ, этот, конечно, вполне условный. Можно считать правильными ответы от 25 до 100 км.

7.3. Приблизительных графиков зависимости от времени звёздной величины Луны в новом положении должно быть как минимум два. Оба – это суточная зависимость звёздной величины Луны. Один случай – для периодов без затмений, другой – с затмениями. Максимальная продолжительность полного затмения новой Луны, как мы выяснили в п. 7.1., будет в дни равноденствий и составит примерно 25 минут, при этом периоды полутени до и после полной фазы будут длиться по 9 минут.

Поскольку Луна приблизится к нам примерно в 10 раз, светить она будет примерно в 100 раз сильнее. Поэтому и максимальный блеск новой Луны в полнолуние будет примерно в 100 раз больше блеска Луны обычной, что есть составит примерно $-18^{\mathbf{m}}$ (бóльшая точность не нужна). То есть величина блеска, соответствующая $-18^{\mathbf{m}}$, – это на графике будет наивысшая точка. Наинизшая точка в выбранном масштабе будет несомненно нулём с большой точностью. (Кстати, пепельного света новой Луны в новолуние практически не будет – сообразите почему.) В первом приближении величина блеска будет меняться примерно по синусоиде, достигая максимума в полночь и минимума в полдень. Однако, учитывая индикатрису рассеяния, «бока» синусоиды надо существенно «подрезать».

Примечание (от участников не требуется). Так, например, для фазы 90° (первая или последняя четверть) освещённость, создаваемая Луной составляет не 50%, как это было бы при однородном рассеянии, а всего около 8% от освещённости полной Луны! А 50% реализуется для фазы всего около 27°. То есть, реальная ширина пика блеска (определяемая по точкам на «полувысоте») составит не 12 часов, а около 3,6!

Для случая с затмением посередине пика блеска (в полночь) появится резкий провал. В зависимости от конкретного дня (ночи) провал может быть до нуля (полное затмение) или не до нуля (частное). На графике провал будет достаточно резким, поскольку даже максимальная продолжительность затмения в 25-35 минут мала по сравнению с характерной шириной пика блеска.

7.4. Иные последствия – на Земле образуются два огромных приливных горба. Волнами их назвать нельзя, поскольку они будут находиться в одних и тех же положениях – "под Луной" и с противоположной (относительно положения Луны) стороны Земли. Высоты горбов можно грубо оценить в полкилометра.

Ну и солнечных затмений станет гораздо больше (они тоже будут лишь в периоды, близкие к равноденствиям). Эти затмения будут существенно продолжительнее, но менее привлекательны эстетически. По солнечным затмениям люди будут определять полдень. (Вновь для меридиана, над которым "висит" геостационарное тело. Для других местностей – поправки, аналогичные описанным выше.)