ВсОА 2002, Заключителен етап, 8–11 клас — Задача 8. Двойная звезда

• Орбита круговая; v = 109,3 км/с, v1 = 66,7 км/с, v2 = 42,6 км/с, M1/M2 = 1,56; a ≈ 75,1 млн. км = 0,502 а.е.; M = 6,75 масс Солнца, M1 = 4,11, M2 = 2,64 масс Солнца; диаметры 22,9 и 2,9 диаметров Солнца; L1 = 131, L2 ≈ 44 светимостей Солнца; температура меньшей звезды T ≈ 8900 K; главная — красный гигант класса K, вторая — звезда главной последовательности класса A.

  По официальному решению.

(В.В.Порфирьев в редакции М.Г. Гаврилова, 2002.) Общий ход решения.

1. Поскольку кривые лучевых скоростей строго симметричны и представляют собой синусоиды, орбита круговая. Относительная скорость движения по орбите вокруг главной звезды равна сумме максимальных значений обоих скоростей v = 109,3 км/c. Это значение снимается с графика. Соответственно, значения скоростей каждой звезды: $v_1 = 66{,}7$ км/c, $v_2 = 42{,}6$ км/c. Отношение масс равно $M_1/M_2 = v_2/v_1 = 66{,}7/42{,}6 = 1{,}56$.

2. По скорости и периоду находим радиус относительной орбиты $a = v\cdot P / 2\pi \approx 75{,}1$ млн. км. В астрономических единицах a = 0,502 а.е.

3. По 3-му закону Кеплера, сравнивая эту систему с системой Солнце–Земля находим сумму масс M. В единицах а.е.–год–$M_{Q}$ это вычисляется очень просто: $M = M_{Q}\cdot a^{\mathbf{3}}/P^{\mathbf{2}}$. $M = 6{,}75\ M_{Q}$ (масс Солнца) и, учитывая, что $M_1/M_2 = 1{,}56$, получаем $M_1 = 4{,}11\ M_{Q}$, $M_2 = 2{,}64\ M_{Q}$.

4. По графику кривой блеска время полного затмения (когда меньшая звезда затмевается большей) примерно равно 0,059 периода, а времена частного затмения меньшей звезды (до и после полного) – примерно 0,0086 периода. Это позволяет вычислить соответственно разность диаметров звёзд как $0{,}059\ v\cdot P = 27{,}9$ млн. км и диаметр меньшей звезды как $0{,}0086\ v\cdot P = 4{,}06$ млн. км. Или, в диаметрах Солнца соответственно $20{,}0\ D_{Q}$ и $2{,}9\ D_{Q}$. Таким образом, диаметры звёзд составляют: большой – $22{,}9\ D_{Q}$ и малой – $2{,}9\ D_{Q}$ (диаметров Солнца).

5. Светимость главной звезды определяется по формуле $L = 4\pi R^{2}\sigma T^{4}$, что даёт (после сравнения с Солнцем) светимость большой звезды $L_{\mathbf{1}} = 131\ L_{Q}$ (светимостей Солнца). По графику получаем, что логарифм отношения светимости главной звезды к полной светимости обеих звёзд составляет -0,125, откуда получаем, что светимость главной звезды составляет 0,75 от полной светимости вне затмения. Отсюда светимость второй звезды равна трети светимости первой или около 44 $L_{Q}$.

6. Из той же формулы для светимости $L = 4\pi R^{2}\sigma T^{4}$ определяем температуру меньшей звезды, получаем T ≈ 8900 K.

7. Дополнительно можно сообразить, что главная звезда − красный гигант спектрального класса K, а вторая − звезда главной последовательности класса A и обе они – на ранних стадиях эволюции.