Съдържание

ВсОА 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-Т-5. · Вылет нейтронной звезды

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2007

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры, 9–11 классы · 2 април 2007 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования
Астрономическое общество

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, г.Саранск,2007г.

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Саранск,2–7апреля2007года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.С.Расторгуева,О.С.Угольникова,А.М.Татарникова,Е.Н.Фадеева.2007.28стр.

Оригинал-макет и верстка:О.С.Угольников.

Условие

Теоретический тур. 11 класс. Задача 5.

В центре однородного сферического звездного скопления вспыхнула Сверхновая. В результате несимметричного взрыва образовавшаяся нейтронная звезда получила начальную скорость 20 км/с (относительно центра скопления). Какой будет скорость нейтронной звезды при вылете из скопления, если масса скопления равна 500000 солнечных масс, а радиус — 10 пк? Какова дальнейшая судьба этой нейтронной звезды?

Решение

Вылет нейтронной звезды (А.С. Расторгуев).

Пусть $R$ и $M$ — радиус и масса скопления соответственно, $v_0$ — начальная скорость звезды, $\mu$ — масса нейтронной звезды. Очевидно, что звезда по мере ее удаления от центра скопления будет тормозиться силой притяжения и терять кинетическую энергию. Изменение кинетической энергии должно быть равно работе, совершенной силой тяготения, $A$ . Рассчитаем эти величины.

Поскольку скопление сферическое, то в любой его точке на звезду будет действовать сила притяжения, направленная к центру и зависящая только от массы, заключенной в сфере радиуса $r$ . Эта масса равна

m(r)=\frac{4\pi\rho r^3}3=M\left(\frac rR\right)^3.

Эта масса действует также, как масса, сосредоточенная в центре. Поэтому сила притяжения к центру будет равна

F(r)=\frac{Gm(r)\mu}{r^2}=\frac{GM\mu r}{R^3}.

Мы видим, что сила линейно растет с расстоянием от нулевого значения в центре до максимального значения на границе скопления:

F_M=\frac{GM\mu}{R^2}.

Работа силы притяжения на интервале $0<r<R$ по модулю равна площади под графиком силы $F(r)$ , то есть площади прямоугольного треугольника, и отрицательна:

A=-\frac{F_MR}2=-\frac{GM\mu}{2R}.

Тот же результат можно получить, используя свойство суммы арифметической прогрессии. Подставляя это выражение в закон сохранения энергии, получаем:

\frac{\mu v_1^2}2=\frac{\mu v_0^2}2-\frac{GM\mu}{2R}.

Исключая массу нейтронной звезды, получаем формулу для скорости нейтронной звезды при вылете из скопления:

v_1=\sqrt{v_0^2-\frac{GM}R}.

Значение этой скорости составляет 13.6 км/с. После вылета нейтронной звезды из скопления оно действует как точечная масса. Потенциальная энергия взаимодействия звезды со скоплением в момент вылета составляет

E=-\frac{GM\mu}R.

Подставляя численные данные, мы видим, что по модулю потенциальная энергия более чем вдвое превышает кинетическую энергию звезды в момент вылета из скопления. Следовательно, звезда не сможет улететь за пределы гравитационного влияния скопления, и через некоторое время вернется в него.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены все 27 отдельно напечатанных заданий 9, 10 и 11 классов: 18 теоретических и 9 практических. Все 20 полных печатных ключей со всеми методами и авторами приложены к соответствующим заданиям. В задаче «Две кульминации» дополнительный вопрос о других широтах напечатан только для 10 класса; общий ключ прямо отмечает этот вопрос как относящийся к 10 классу. В таблице объектов строка M17 буквально содержит «Скорпион, Змея»; пустые поля созвездий движущихся объектов сохранены. В ключе окуляров буквально напечатаны Γ2=130 и затем «в полтора»/«около 300». Ключ затменной системы сохраняет вывод о нулевой регистрируемой амплитуде минимума при напечатанном в условии пороге 0.005m. В ключе радуги сохранено исходное слово «крем». Выходные сведения говорят 28 страниц; полученный PDF ключа имеет 27 страниц и завершается полным решением цефеиды. Неизвестная 28-я страница не восстановлена предположением. Все требуемые фотографии и графики есть в доступных оригиналах. Численные баллы и схемы оценивания в 36 доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2007tepr.pdf · официални решения: psol2007tepr.pdf