Съдържание

Условие Решение

ВсОА 2009, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 16. 11-Т-4 · Взрыв в звездном трио

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2009

XVI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры,9–11классы · 12 април 2009 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство образования

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XVI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Анапа,2009г.

Международный год астрономии2009 — Вселенная для Вас.

XVI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Анапа,12–18 апреля2009 года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.С. Расторгуева,О.С. Угольникова,А.М. Татарникова,Е.Н. Фадеева.2009,28стр.

Оригинал-макет и верстка:О.С. Угольников.

Условие

Теоретический тур. 11 класс. Задача 4.

Три звезды с равной массой обращаются вокруг общего центра тяжести по одинаковой круговой траектории, находясь в вершинах равностороннего треугольника. В один момент одна из звезд взрывается как сверхновая, и ее масса без остатка быстро покидает систему. Найдите эксцентриситет новых орбит оставшихся двух звезд.

Решение

Взрыв в звездном трио (О.С. Угольников).

Обозначим расстояние между звездами попарно (сторону равностороннего треугольника) как $R$ , а массу каждой звезды как $M$ . Рассмотрим движение каждой звезды. По свойствам равностороннего треугольника, радиус орбит звезд составляет

L=\frac R{\sqrt3}.

Центростремительное ускорение каждой звезде придает равнодействующая сил притяжения двух других звезд:

M\cdot a=\frac{2GM^2\cos30^\circ}{R^2};\qquad a=\frac{\sqrt3GM}{R^2}.

Скорость движения каждой из звезд составляет

v_0=\sqrt{a\cdot L}=\sqrt{\frac{GM}R}.

Полная исходная схема звездного трио, круг/треугольник/взрыв/R/L/все v/v0/u стрелки и оба оставшихся тела.

После взрыва одной из звезд две остальные продолжают двигаться со скоростями $v_0$ , как показано на рисунке. Компонента этой скорости, направленная вдоль прямой, соединяющей звезды, $u$ , одинакова для обеих звезд и является скоростью центра масс системы, образованной двумя звездами; она в дальнейшем не изменяется. А вот перпендикулярная компонента $v$ у двух звезд совпадает по модулю, но противоположна по направлению. Она становится орбитальной скоростью звезды. Ее величина составляет

v=v_0\cos30^\circ=\sqrt{\frac{3GM}{4R}}.

Орбитальная скорость перпендикулярна радиусу-вектору, следовательно, положения звезд сразу после взрыва соответствуют либо перицентрам, либо апоцентрам новых орбит. Пусть через половину орбитального периода, в апоцентре или перицентре соответственно, расстояние между звездами будет равно $D$ , а скорости каждой будут равны $v_1$ . Запишем законы сохранения момента импульса и энергии:

2\cdot\frac{v\cdot R}2=2\cdot\frac{v_1\cdot D}2;\qquad 2\cdot\frac{M\cdot v^2}2-\frac{GM^2}R=2\cdot\frac{M\cdot v_1^2}2-\frac{GM^2}D.

Делая подстановки

v_1=\frac{v\cdot R}D;\qquad\frac{GM}R=\frac{4v^2}3,

получаем уравнение

v^2-\frac{4v^2}3=v^2\frac{R^2}{D^2}-\frac{4v^2}3\frac RD

и далее:

3(R/D)^2-4(R/D)+1=0.

Это уравнение имеет два корня, соответствующие двум точкам на орбитах звезд. Первое решение ( $D=R$ ) связано с положением звезд сразу после взрыва, а второе ( $D=3R$ ) — через половину нового орбитального периода. Мы видим, что сразу после взрыва звезды оказываются в перицентрах своих новых орбит, а в апоцентрах они будут втрое дальше друг от друга. Эксцентриситет новых орбит составит

e=(D-R)/(D+R)=0.5.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены все26отдельно напечатанных заданий9,10и11классов:18теоретических и8практических. «Вояджер2» — одна общая печатная задача1практического тура10–11классов; отдельно напечатанные задания9и10классов сохранены отдельно. Все18полных печатных ключей со всеми методами и авторами приложены к соответствующим26заданиям. В ключе светового давления буквально сохранена цепочка равенств v=√(−2GM*/R0)=√(2·0.44·GM/R0)=v0√0.44 при определении v0как средней орбитальной скорости Земли и ответ19.8км/с; равенства не согласуются с этим определением. В ключеМ4буквально напечатаны E(B−V)=0.34m и A_V=3E(B−V)=0.9m. Приближенные рассуждения ближайшей планеты40%/41%сохранены как в оригинале. Выходные сведения говорят28страниц; полученныйPDFключа имеет26страниц, последняя завершает решение сверхновой. Две неполученные страницы не восстановлены предположением. Все требуемые фотографии и графики есть в доступных оригиналах. Численные баллы и схемы оценивания в35доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2009tepr.pdf · официални решения: psol2009tepr.pdf