ВсОА 2016, Зимен сбор · теория — Задача 2. Реактивная тригонометрия

• a) 0.25

  $S/S_0 = 1/4$

• b) W(43°; 19°), E(43°; 153°)

• c) 67.5 °

a) Угловой радиус указанной области: $\theta = \arccos\dfrac{R}{2R} = 60^{\circ} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{S}{S_0} = \dfrac{1-\cos\theta}{2} = \dfrac14$.

b) Уравнение малого круга с центром в точке $(\varphi_0; \lambda_0)$ и радиусом $60^{\circ}$ записывается в виде $\sin\varphi\sin\varphi_0 + \cos\varphi\cos\varphi_0\cos\Delta\lambda = \dfrac12$. Условие экстремальности $\cos\Delta\lambda$:

Искомые координаты точек: $\mathbf{W(43^{\circ}; 19^{\circ})}$, $\mathbf{E(43^{\circ}; 153^{\circ})}$.

c) Самолёт летит по дуге большого круга, проходящего через W и E. Пусть координаты одного из его полюсов $(\varphi_p\ \lambda_p)$;

Возьмём $\lambda_p = \lambda_0 \quad\Rightarrow\quad \tan\varphi_p = -\cot\varphi\cos\Delta\lambda \quad\Rightarrow\quad \varphi_p \approx -22.5^{\circ}$.

Искомая точка тоже лежит на круге: $\tan\tilde\varphi = -\cot\varphi_p\cos(\tilde\lambda - \lambda_p)$. Понятно, что $\cos(\lambda_{\max} - \lambda_p) = 1$, откуда следует $\lambda_{\max} = \lambda_0$. В результате $\tan\varphi_{\max} = -\cot\varphi_p \quad\Rightarrow\quad \varphi_{\max} = \varphi_p + 90^{\circ} \approx \mathbf{67.5^{\circ}}$.