Съдържание

ВсОА 2017, Летен сбор · практически тур (3 юли) — Задача 2. Клеобул

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2017

Летние учебно-тренировочные сборы по астрономии. 3 июля 2017 г. Практический тур · 3 юли 2017 г.

Условие

В таблице представлены расчётные данные наблюдений астероида Клеобул: дата, горизонтальный параллакс и элонгация. Астероид считать сферическим.

1. Для того, чтобы визуально разрешить астероид 21 июля 2018 г., потребуется телескоп с минимальной апертурой $D \simeq 100$ м. Оцените диаметр астероида.

2. Рассчитайте абсолютную звездную величину астероида, если 17 декабря 2020 г. его видимая звездная величина составит $m = 18.12^m$ .

3. Определите большую полуось и эксцентриситет орбиты астероида.

4. Оцените периодичность великих противостояний астероида.

5. Найдите дату ближайшего противостояния.

Задача 2. Клеобул

Дата	π, ″	λ, °	Дата	π, ″	λ, °
2017 – Feb – 16	6.0	91.9 W	2019 – Jun – 06	2.4	106.0 W
2017 – Mar – 28	6.8	127.7 W	2019 – Jul – 16	2.9	146.6 W
2017 – May – 07	6.8	176.0 W	2019 – Aug – 25	3.0	166.7 E
2017 – Jun – 16	5.2	137.6 E	2019 – Oct – 04	2.8	122.3 E
2017 – Jul – 26	3.7	101.9 E	2019 – Nov – 13	2.4	83.9 E
2017 – Sep – 04	2.8	72.3 E	2019 – Dec – 23	2.1	50.8 E
2017 – Oct – 14	2.3	45.0 E	2020 – Feb – 01	2.0	21.1 E
2017 – Nov – 23	2.1	17.9 E	2020 – Mar – 12	2.1	6.6 W
2018 – Jan – 02	2.0	10.0 W	2020 – Apr – 21	2.3	32.3 W
2018 – Feb – 11	2.0	39.1 W	2020 – May – 31	2.7	57.4 W
2018 – Mar – 23	2.2	70.5 W	2020 – Jul – 10	3.4	83.3 W
2018 – May – 02	2.6	105.7 W	2020 – Aug – 19	4.7	112.7 W
2018 – Jun – 11	2.9	147.0 W	2020 – Sep – 28	7.0	150.8 W
2018 – Jul – 21	2.9	166.5 E	2020 – Nov – 07	9.1	159.0 E
2018 – Aug – 30	2.6	123.1 E	2020 – Dec – 17	8.7	113.7 E
2018 – Oct – 09	2.2	85.4 E	2021 – Jan – 26	7.7	85.9 E
2018 – Nov – 18	1.9	51.9 E	2021 – Mar – 07	7.2	71.6 E
2018 – Dec – 28	1.7	20.8 E	2021 – Apr – 16	6.6	66.1 E
2019 – Feb – 06	1.7	9.9 W	2021 – May – 26	5.6	63.1 E
2019 – Mar – 18	1.8	40.0 W	2021 – Jul – 05	4.5	56.6 E

Отговори

Решение

Решение:

1 Оценим угловой размер астероида $\alpha$ из предельного разрешения оптического телескопа, по данному на дату горизонтальному параллаксу рассчитаем геоцентрическое расстояние астероида $R$ , а далее — его линейный размер $d$ :

\alpha \simeq \frac{1.22\lambda}{D} \simeq \frac{1.22 \cdot 550 \cdot 10^{-9}}{100} = 6.6 \cdot 10^{-9}\ \text{рад}, \qquad (11)

R = \frac{R_\oplus}{2.9''} \cdot 206265 = 4.5 \cdot 10^8\ \text{км}, \qquad (12)

d = R\alpha \approx 3\ \text{км}. \qquad (13)

2 Напомним, что абсолютной звездной величиной объекта Солнечной системы называется его звездная величина, как если бы он при полной фазе находился на расстоянии 1 а.е. от Солнца и от наблюдателя. Геоцентрическое расстояние астероида $\mathcal{A}$ на указанную дату

R = \frac{R_\oplus}{8.7''} \cdot 206265 = 1.5 \cdot 10^8\ \text{км} = 1.0\ \text{а.е.} \qquad (14)

Из теоремы косинусов для треугольника $\triangle\{\odot; \oplus; \mathcal{A}\}$ определим гелиоцентрическое расстояние Клеобула, по теореме синусов рассчитаем фазовый угол, затем — фазу астероида:

r = \sqrt{a_\oplus^2 + R^2 - 2a_\oplus R \cos\lambda} = 1.67\ \text{а.е.}, \qquad (15)

\varphi = \arcsin\frac{a_\oplus \sin\lambda}{r} = 33.3^{\circ} \quad \Longrightarrow \quad \Phi = \frac{1 + \cos\varphi}{2} = 0.92. \qquad (16)

Окончательно, по формуле Погсона

M = m - 2.5 \lg\frac{r^2 R^2}{a_\oplus^4 \Phi} = 16.9^m. \qquad (17)

3 Для определения параметров орбиты астероида построим положения Земли и астероида на миллиметровке. Для удобства предлагается пересчитать горизонтальный параллакс астероида в расстояние от Земли в а.е., время наблюдения — в разность эклиптических долгот Земли по сравнению с первым моментом; зафиксировать положение Солнца в точке $(0; 0)$ , а Землю — в точке $(1; 0)$ . С помощью транспортира и линейки строится положение Земли, а относительно него — положение астероида:

Построение на миллиметровке: оси x, а.е. (от −5 до 2) и y, а.е. (от −3 до 4). Солнце — точка в начале координат; красные кружки — положения Земли на окружности радиуса 1; синие кружки — положения астероида, через которые проведён штриховой эллипс; две штрихпунктирные прямые — большая и малая оси эллипса.

Осталось провести по нанесённым на график точкам эллипс — орбиту астероида, измерить его большие оси и рассчитать эксцентриситет:

2a = 5.4\ \text{а.е.}, \quad 2b = 4.6\ \text{а.е.} \quad \Longrightarrow \quad e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = 0.52. \qquad (18)

4 По III закону Кеплера определим сидерический период:

T \sim a^{3/2} = 4.46\ \text{лет}. \qquad (19)

Составим таблицу ( $N_\oplus$ , $N_{\text{Кл}}$ ) соответствия числа полных оборотов Земли и Клеобула. Строка с близкими к целым числами удовлетворяет условию наступления великих противостояний. Приводим первые две такие строки:

$T_G = 9$ лет — 1%,

$T_G = 58$ лет — 0.007%.

5 Противостояние происходит в некоторый момент между наблюдениями, когда меняется сторона элонгации, а значение угла близко к $180^{\circ}$ . После внимательного взгляда на таблицу понимаем, что ближайшее противостояние Клеобула (на дату проведения тура) произойдёт между 11 июня и 21 июля 2018 г. Будем считать, что угловая скорость движения астероида по орбите вокруг Солнца существенно не изменяется на этом промежутке времени, и рассчитаем её.

По графику из части 3 задачи определим истинную аномалию Клеобула 11 июня 2018 г., и, подставляя её значение в уравнение эллипса, найдём гелиоцентрическое расстояние Клеобула в этот день

r = \left.\frac{a\left(1 - e^2\right)}{1 + e\cos\theta}\right|_{\theta = 162^{\circ}} = 3.9\ \text{а.е.} \qquad (20)

Угловая скорость астероида выражается из закона сохранения момента импульса (в качестве опорной точки выбрана точка перигелия):

\omega = \frac{L}{mr^2} = \frac{ma(1 - e)\sqrt{GM_\odot\left[\dfrac{2}{a(1 - e)} - \dfrac{1}{a}\right]}}{mr^2} = \frac{\sqrt{GM_\odot a\left(1 - e^2\right)}}{r^2} = 0.15^{\circ}/\text{сут}. \qquad (21)

Найдём из графика разность долгот Земли и астероида (11 июня 2018 г.) и, соответственно, время, через которое произойдет противостояние:

\Delta t = \left.\frac{\Delta\lambda}{\omega_\oplus - \omega}\right|_{\Delta\lambda = 24^{\circ}} = 29\ \text{сут}. \qquad (22)

Следовательно, ближайшее противостояние произойдет ориентировочно 10 июля 2018 г.

Оригинал в Архива: Q_prac.pdf · официални решения: A_prac.pdf