ВсОА 2023, Сбор 1 · теория — Задача 9. Эпициклы, эпициклы

Q23S1T

Внимание: Бележка към темата

Официално решение не е налично в източника.

Условие

Звёзды галактического диска движутся по некруговым орбитам, уклоняясь от окружностей как в плоскости симметрии Галактики, так и в перпендикулярном направлении. Однако дисперсии скоростей объектов диска намного меньше скорости вращения на плато, поэтому можно ожидать, что большинство орбит слабо отличаются от круговых. Движение звёзд относительно местного стандарта покоя (во вращающейся системе отсчёта) называют эпициклическим.

Рассмотрим движение звезды {r(t),φ(t),z(t)}\{r(t), \varphi(t), z(t)\} в стационарном осесимметричном гравитационном потенциале Галактики Φ(r,z)\Phi(r,z).

a. Запишите уравнения движения звезды в координатах {r,φ,z}\{r,\varphi,z\}, то есть выразите r¨,φ¨,z¨\ddot r, \ddot\varphi, \ddot z через координаты, функцию Φ\Phi и их производные.

b. Как изменяется удельный момент импульса LL звезды и как он связан с rr и φ\varphi? Для кругового движения по орбите радиусом r0r_0 выразите LL через r0r_0 и Φr′(r0)\Phi'_r(r_0).

c. Преобразуйте уравнение радиального движения звезды:

  • исключите члены, содержащие φ˙\dot\varphi;
  • подставьте r(t)≡r0+ρ(t)r(t) \equiv r_0 + \rho(t);
  • оставьте только члены, линейные по малому отклонению ρ(t)\rho(t);
  • преобразуйте к виду уравнения гармонических колебаний.

d. Выпишите выражение для круговой частоты радиальных колебаний в форме

Ω2=#1⋅∂Φ∂r∣r0+#2⋅∂2Φ∂r2∣r0.\Omega^2 = \#_1 \cdot \left.\frac{\partial \Phi}{\partial r}\right|_{r_0} + \#_2 \cdot \left.\frac{\partial^2 \Phi}{\partial r^2}\right|_{r_0}.

e. При каких условиях круговые орбиты в гравитационном потенциале Φ(r,z)\Phi(r,z) оказываются устойчивыми к малым возмущениям?

Подсказка. Подумайте, в какой форме удобно представить Φz′\Phi'_z, если в силу симметрии Галактики относительно плоскости диска ∂Φ∂z∣z=0=0\left.\frac{\partial \Phi}{\partial z}\right|_{z=0} = 0.

f. С учётом результатов пунктов (b) и (d) выразите Ω\Omega через угловую скорость вращения Галактики ω(r0)\omega(r_0) и производную ωr′(r0)\omega'_r(r_0).

g. Вычислите период эпициклического движения, если принять ω0≈27.5\omega_0 \approx 27.5 км/с/кпк, ω0′≈−4.55\omega'_0 \approx -4.55 км/с/кпк2^2 и r0=7.5r_0 = 7.5 кпк. Сравните его с галактическим годом.

h. В каком направлении происходит движение звезды по эпициклу: по направлению вращения Галактики или в противоположном направлении? Ответ обоснуйте.

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива няма официално решение на тази задача.

Оригинал в Архива: Q23S1T.pdf