Съдържание

ВсОА 2023, Заключителен етап — Задача 11.8. Перед посадкой

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2023

XXX Всероссийская олимпиада по астрономии — заключительный этап, практический тур · 15 т.

Заключительный этап

XXX Всероссийская олимпиада по астрономии. ФТ «Сириус», 27 марта – 2 апреля 2023 г. Практический тур. Задания 9.7–9.8: класс 9; 10.7–10.8: класс 10; 11.7–11.8: класс 11.

Условие

Космический аппарат готовится совершить посадку на поверхность далекой планеты, похожей по радиусу и массе на Землю. Завершив торможение двигателем в верхних слоях атмосферы, аппарат выключил его, раскрыл парашют и опускается строго вертикально. Радиолокатор непрерывно фиксирует данные о высоте аппарата над поверхностью. Пользуясь приведенным графиком, определите температуру атмосферы планеты, считая ее постоянной. Влиянием ветра на движение аппарата пренебречь. При решении задачи считать, что:

1 Сила сопротивления воздуха пропорциональна плотности воздуха и квадрату скорости аппарата;

2 Атмосфера целиком состоит из азота $N_2$ , распределение концентрации молекул атмосферы с высотой $h$ – больцмановское ( $n\sim\exp(-\mu gh/\Re T)$ , $\mu$ – молярная масса, $g$ – ускорение свободного падения, $\Re$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – температура).

Сдайте этот лист вместе с решением задания! ШИФР: __________

Высота спускающегося аппарата в зависимости от времени.

Решение

В условии задания сказано, что аппарат уже завершил торможение двигателем и спускается на парашюте. По графику мы видим, что скорость аппарата невелика (даже в начале интервала – несколько километров в минуту) и несопоставимо меньше космической. По ходу спуска скорость еще уменьшается. Поэтому мы можем решать задачу в равновесной модели – считать, что в любой момент времени сила сопротивления воздуха (ускорение a) уравновешивает силу притяжения аппарата (ускорение g) к планете. По мере снижения аппарата плотность атмосферы увеличивается, сила сопротивления воздуха растет, и равновесие достигается при меньшей скорости. В качестве подтверждения этой модели можно обратить внимание на то, что реальные величины итоговых ускорений аппарата (g – a) несравнимо меньше по величине, чем g, поэтому мы можем считать g = a. Кроме этого, мы можем считать ускорение свободного падения g постоянным.

В соответствии с условием задачи, ускорение силы сопротивления есть

a=K\cdot n\cdot v^2=g=\mathit{const}.

Здесь n – концентрация молекул в воздухе, v – скорость снижения аппарата, K – некоторая постоянная. Это ускорение постоянно, так как оно уравновешивает ускорение свободного падения. Концентрация молекул меняется с высотой в соответствии с распределением Больцмана. Запишем выражение для скорости снижения аппарата:

v=-\frac{dh}{dt}=\sqrt{\frac{g}{K\cdot n}}=\sqrt{\frac{g}{K\cdot n_0}}\cdot e^{\frac{\mu gh}{2\Re T}}.

Здесь t – время, $n_0$ – концентрация молекул у поверхности. Мы можем прологарифмировать данное выражение:

\ln\left(v\sqrt{\frac{K\cdot n_0}{g}}\right)=\frac{\mu gh}{2\Re T}.

Множитель под корнем, умножаемый на скорость – постоянная величина. При логарифмировании он даст некоторое постоянное слагаемое к логарифму скорости (например, в метрах в секунду). В правой части уравнения мы видим высоту, умножаемую на постоянный фактор, в который входит температура. Таким образом, для решения задачи нам достаточно определить скорость снижения аппарата на некотором диапазоне высот h и построить зависимость ln v от h, которая должна оказаться линейной:

\ln v=C\cdot h+\mathit{const}

Из коэффициента C мы сможем определить температуру.

Касательные к кривой спуска и скорости на пяти высотах.

Скорости определяются по линиям, касательным к кривой, приведенной в условии. Возьмем для примера пять высот от 5 до 25 км с шагом 5 км. Вычисляя натуральные логарифмы скоростей, строим их зависимость от высоты:

Зависимость логарифма скорости от высоты; единицы оси сохранены как напечатано.

Зависимость действительно линейная, и ее коэффициент С равен

C=\frac{\mu\cdot g}{2\Re T}=0.11\,\text{км}^{-1}=1.1\cdot10^{-4}\,\text{м}^{-1}.

Планета похожа на Землю, поэтому ускорение свободного падения g мы принимаем равным $9.8\,\text{м/с}^{-2}$ . Молярная масса молекулярного азота μ равна 0.028 кг/моль. Теперь мы можем определить температуру:

T=\frac{\mu\cdot g}{2\Re C}=150\,K.

При своей кажущейся простоте, подобный метод измерения температур не потерял актуальности и используется даже на Земле, точнее в ее мезосфере и нижней термосфере. Там не используется парашют, а в качестве пробного тела выступает легкая сфера с радиомаяком. Метод вошел в литературу под названием «метод падающей сферы» и считается одним из самых точных локальных способов измерения температуры в верхней атмосфере. Разумеется, равновесная модель там уже не используется.

Система оценивания

1 этап – 2 балла. Указание, что решение можно вести в равновесной модели. Если это делается без обоснования – за этап выставляется 1 балл (дальнейшие этапы оцениваются в полной мере), если говорится о малых скоростях или ускорении, существенно меньшем ускорения свободного падения – этап засчитывается полностью.

Участник вправе не делать это предположение, а производить вычисления в общем виде. Это усложняет решение, но к нему предъявляются такие же требования по точности.

2 этап – 4 балла. Восстановление связи скорости движения аппарата и высоты с учетом распределения Больцмана. Участник может по-другому записывать постоянные множители в выражении для скорости, обязательным должен быть экспоненциальный множитель с правильным выражением. При отсутствии там коэффициента 2 (и – как следствие – итогового завышения температуры в 2 раза) за этап выставляется 1 балл, остальные оцениваются в полной мере. При отрицательном коэффициенте перед высотой в показателе экспоненты в выражении для скорости (не концентрации) этап не засчитывается.

3 этап – 4 балла. Восстановление данных о скорости аппарата на разных высотах. Для достижения нужной точности имеет смысл определить скорость хотя бы на трех – четырех высотах. При использовании только двух высот оценка уменьшается на 2 балла. При этом последующий этап оценивается, исходя из итоговой точности температуры.

4 этап – 5 баллов. Определение температуры атмосферы планеты, точность 10K. При превышении погрешности оценка уменьшается на 1 балл за каждые 10K дополнительной погрешности, при этом оценка за этап не может быть меньше нуля.

Комментарий: Участник может выполнять решение по-другому: при желании и владении соответствующим аппаратом, он может получить прямую связь времени и высоты, исходя из свойств сопротивления воздуха и предположения о равновесии:

\frac{\mu\cdot g^{3/2}(t-t_0)}{2\Re T\sqrt{Kn_0}}=e^{-\frac{\mu gh}{2\Re T}}-e^{-\frac{\mu gh_0}{2\Re T}}.

Здесь $t_0$ – некоторое начальное время, $h_0$ – высота в этот момент. Это соотношение в принципе позволит ему не определять из графика скорости в конкретных точках, а работать прямо с диаграммой «время – высота». При условии правильного выполнения это оценивается полностью.

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Екзопланети и среди · Планетни среди

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: prob2023prac.pdf · официални решения: psol2023prac.pdf