Съдържание

ВсОА 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.8. Темный шар II: Звездное поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2024

Всероссийская олимпиада по астрономии — 2024 — заключительный этап, практический тур · 15 т.

XXXI Всероссийская олимпиада по астрономии

Заключительный этап. Москва, 29 марта — 4 апреля 2024 г. Практический тур. Классы 9, 10, 11.

Указание на листах с рисунками

Сдайте этот лист вместе с решением! Листы с рисунками к заданиям 10 и 11 классов: «Сдайте этот лист вместе с решением задания!»

Условие

Некоторая гигантская галактика шарообразной формы плотно заполнена звездами, аналогичными по своим свойствам Солнцу. Концентрация звезд на единицу объема одинакова во всей галактике. Астрономы, живущие неподалеку от центра галактики, измеряют плотность звезд на единицу угловой площади неба, их прибор работает в видимой области спектра и имеет проницающую способность $19.0^m$ . В ходе наблюдений они замечают шарообразное облако межзвездной пыли. На графике показана зависимость измеренной плотности звезд на единицу видимой площади вдоль некоторой линии неба, проходящей через центр пылевого облака. Определите физический диаметр облака и оптическую толщину вдоль его диаметра, считая распределение пыли внутри него однородным. Считать, что пыль одинаково поглощает свет любых длин волн. Межзвездным поглощением света вне облака и возможным взаимным экранированием звезд пренебречь.

Плотность наблюдаемых звезд в зависимости от углового положения относительно облака.

Решение

ТЕМНЫЙ ШАР II: ЗВЕЗДНОЕ ПОЛЕ (О.С. Угольников)

Наблюдения ведутся в видимой области спектра, абсолютная звездная величина Солнца для этой области равна M = +4.8. Это значение можно взять как известное, а можно получить, зная блеск Солнца на Земле. Мы можем определить максимальное расстояние, с которого Солнце будет иметь звездную величину m = 19.0, что позволит ему быть зафиксированным прибором.

\lg R_0=1+\frac{m-M}5=3.84;\qquad R_0=6.9\ \text{кпк}.

Это достаточно большое расстояние, но все же меньшее радиуса крупных галактик. Поэтому мы можем считать, что все обозреваемое прибором пространство заполнено звездами.

Еще одно важное свойство, которое существенно облегчает решение – угловые размеры туманности в небе малы. Это значит, что ее пространственные размеры существенно меньше расстояния до нее, и мы можем считать, что все поглощение происходит на каком-то одном расстоянии R от наблюдателя.

Пусть в некотором направлении на расстоянии $R_1$ происходит поглощение с оптической толщиной τ. Тогда все звезды, расположенные позади туманности, на расстоянии r, ослабнут в $e^{-\tau}$ раз. Их звездная величина станет равной

Геометрия наблюдения пылевого облака и области видимости звезд.

m=M-5+5\lg r-2.5\lg e^{-\tau}=M-5+5\lg r+2.5\tau/\ln10.

Максимальное расстояние до видимой звезды $R$ будет соответствовать ее видимому блеску $19^m$ :

19=M-5+5\lg R+2.5\tau/\ln10=M-5+5\lg R_0.

Отсюда мы получаем выражение для максимального расстояния, соответствующего этой оптической толщине:

5\lg\frac R{R_0}=-\frac{2.5\cdot\tau}{\ln10};\qquad R=R_0e^{-\tau/2}.

Это соотношение выполняется, пока расстояние R остается больше, чем $R_1$ . Как только поглощение достигнет величины $\tau_1=-2\ln(R_1/R_0)$ , туманность начнет скрывать все звезды позади нее, так как их видимый блеск станет слабее $19^m$ . В итоге, максимальное расстояние до наблюдаемых звезд станет равным $R_1$ и дальше практически не будет меняться с ростом оптической толщины.

Если максимальное расстояние до наблюдаемых звезд равно $R$ , то их число на небе в телесном угле $\Omega$ равно

N=\frac{n\cdot\Omega\cdot R^3}3=N_0\frac{R^3}{R_0^3}.

Здесь n – концентрация звезд в единице объема, $N_0$ – наблюдаемая плотность звезд на небе вне туманности. Теперь мы можем записать выражение для плотности наблюдаемых звезд в зависимости от оптической толщины на пути луча:

\begin{aligned}N&=N_0e^{-3\tau/2},&\tau&<-2\ln(R_1/R_0);\\N&=N_0(R_1/R_0)^3,&\tau&\ge-2\ln(R_1/R_0).\end{aligned}

На графике мы видим характерный излом на угловом расстоянии β = 0.2° от центра туманности. Ближе к центру туманности величина N практически постоянна. Учитывая, что ось ординат имеет логарифмический масштаб, мы измеряем по графику величину lg (N/ $N_0$ ), которая равна –1.91. Таким образом, наблюдаемая плотность звезд перед центром туманности есть 0.012 от этой же величины вне туманности. Расстояние до туманности есть

R_1=R_0\sqrt[3]{0.012}=0.23\cdot R_0=1.6\ \text{кпк}.

Угловой диаметр туманности 2ρ равен 0.8° или 0.014 радиан. Пространственный диаметр пылевой туманности равен 22 пк.

Диаметр облака и хорда на половине радиуса.

Нам остается найти оптическую толщину туманности по диаметру. Для этого обратимся к точке излома зависимости на графике. Она соответствует оптической толщине

\tau_1=-2\ln(R_1/R_0)=2.95.

Эта оптическая толщина соответствует пути луча $d_1$ на расстоянии в половину радиуса от центра туманности:

d_1=2\sqrt{(d_0/2)^2-(d_0/4)^2}=d_0\sqrt{1-(1/4)}=d_0\sqrt3/2.

При постоянной плотности пыли оптическая толщина пропорциональна длине пути сквозь туманность. В итоге, мы получаем

\tau_0=\frac{2\tau_1}{\sqrt3}=3.4.

Система оценивания

1 этап – 2 балла. Определение максимального расстояния до наблюдаемых звезд, точность 10%. При выполнении участники могут взять болометрическую абсолютную звездную величину Солнца, что увеличит все линейные масштабы, рассматриваемые в задаче, на 5%. Это на оценку не влияет.

2 этап – 3 балла. Связь оптической толщины на пути луча и предельного расстояния до наблюдаемых звезд для случая, когда туманность не скрывает все звезды за собой. Вероятная ошибка: пропуск коэффициента 1/2 перед оптической толщиной. Данный этап не засчитывается, этапы 3 и 4 оцениваются в полной мере, этапы 5 и 6 – из максимума в 2 балла за этап.

3 этап – 2 балла. Правильный учет фактора полного исчезновения звезд позади туманности при определенной оптической толщине, независимость предельного расстояния от дальнейшего увеличения оптической толщины.

4 этап – 2 балла. Выражение для количества звезд на единицу площади в зависимости от оптической толщины. Запись через телесный угол и концентрацию звезд не является обязательной, достаточно выражения через $N_0$ .

Вероятная ошибка: отношение расстояний берется не в 3-й, а какой-либо иной степени (например, 2-й). Данный этап не засчитывается, оставшиеся оцениваются из максимума в 2 балла за этап.

5 этап – 3 балла. Определение диаметра туманности, точность 10%. При ошибке в 2 раза, вызванной путаницей радиуса и диаметра, оценка уменьшается на 2 балла (максимум 1 балл за этап).

6 этап – 3 балла. Определение оптической толщины туманности по диаметру, точность 0.1. Если в качестве ответа указывается величина, соответствующая хорде и излому зависимости на рисунке (ее правильное значение около 3) – оценка уменьшается на 2 балла (максимум 1 балл за этап).

Максимальная оценка за все решение – 15 баллов.

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Светлина и астрономически измервания · Звездни величини

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: prob2024prac.pdf