ВсОА 2025, Заключителен етап, 11. клас — Задача 2. Скоростное окружение

Теоретический тур. Условия задач. 11 класс

Условие

Годограф скорости некоторого малого тела Солнечной системы в декартовых гелиоцентрических координатах (Vx;Vy)(V_x; V_y) представляет собой окружность, касающуюся оси абсцисс в начале координат. В точке A1A_1, лежащей на оси ординат и не совпадающей с началом координат, тело абсолютно неупруго сталкивается с другим телом, двигавшимся по круговой орбите. Годограф скорости новой орбиты представляет собой окружность, радиус которой больше в 2/32/\sqrt{3} раз, а центр окружности и точка A2A_2, соответствующая моменту столкновения, также лежат на оси ординат между точками A1A_1 и началом координат.

Годографы скорости малого тела до и после столкновения: две окружности на плоскости $V_x$–$V_y$; большая окружность касается оси $V_x$ в начале координат, точка $A_1$ лежит на оси $V_y$ в верхней части большой окружности; меньшая окружность проходит через точку $A_2$, лежащую на оси $V_y$ между началом координат и точкой $A_1$.

Найдите эксцентриситеты орбит малого тела до и после столкновения, а также отношение массы первого тела к массе второго, если известно, что оба тела и до, и после столкновения двигались в плоскости эклиптики. Обратите внимание: рисунок сделан только для пояснения условия задачи, определять по нему количественные данные нельзя.

На всякий случай напомним, что годограф — геометрическое место точек, координаты которых равны компонентам некоторого переменного вектора (в частности вектора скорости).

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива няма официално решение на тази задача.

Оригинал в Архива: prob2025teor11.pdf