ВсОА 2025, Заключителен етап, 11. клас — Задача 6. Яффе в профиль

Теоретический тур. Условия задач. 11 класс

Условие

В модели Яффе, описывающей сферически-симметричное распределение материи в галактике, масса, заключенная в пределах расстояния rr от центра симметрии системы, зависит от этого расстояния как

M(r)=4πρ0a3⋅ra1+ra.M(r) = 4\pi \rho_0 a^3 \cdot \dfrac{\frac{r}{a}}{1+\frac{r}{a}}.

Здесь ρ0\rho_0 — некоторая характерная плотность, aa — масштабный параметр системы.

A. Получите формулу зависимости плотности материи в галактике от расстояния до центра симметрии системы ρ(r)\rho(r).

B. Получите зависимость скорости на круговой орбите от расстояния Vc(r)V_c(r). Как выглядит зависимость при r→+∞r \to +\infty и при r→0r \to 0?

C. Представим, что в поле тяготения такой галактики в одной плоскости и в одном направлении по круговым орбитам движутся две звезды. Радиус орбиты первой равен 2a2a, радиус орбиты второй — aa. Чему равна максимальная наблюдаемая лучевая скорость второй звезды при наблюдении с первой?

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива няма официално решение на тази задача.

Оригинал в Архива: prob2025teor11.pdf