Съдържание

ВсОА 2025, Заключителен етап, 9. клас — Задача 2. Галактическая карусель

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2025

Тестовый тур. Условия задач. 9 класс · 21 март 2025 г. · 5 т.

Условие

На рисунке показана теоретическая кривая вращения дисковой галактики: зависимость круговой скорости в плоскости диска галактики от расстояния до ее центра. Точки отмечают положение нескольких пробных звезд. Предполагая движение объектов диска галактики упорядоченным, расположите пары звезд в порядке возрастания синодического периода.

График кривой вращения: по горизонтали R (кпк) от 0 до 7, по вертикали V_c (км/с) от 180 до 400, пунктирная сетка. Кривая круто растёт до максимума около 385 км/с при R ≈ 0,3 кпк, затем убывает и выходит на плато около 220 км/с. Отмечены точки α (R = 0,5 кпк, ≈370 км/с), β (R = 1 кпк, ≈310 км/с), γ (R = 2 кпк, ≈248 км/с), δ (R = 5 кпк, ≈220 км/с).

Варианты ответа:

A: $\alpha$ и $\beta$

B: $\beta$ и $\gamma$

C: $\alpha$ и $\gamma$

D: $\beta$ и $\delta$

E: $\gamma$ и $\delta$

Отговори

Решение

Решение.

Орбиты звезд круговые, поэтому понятие синодического периода имеет смысл. Движение звёзд диска упорядоченное, следовательно, звёзды движутся по своим орбитам в одну сторону. Период обращения каждой звезды равен $T_i = \dfrac{2\pi R_i}{v_i}$ , тогда синодический период для пары звёзд $(i, j)$ можно выразить как

S_{i,j} = \frac{T_i T_j}{|T_i - T_j|} = \frac{\dfrac{2\pi R_i}{v_i} \cdot \dfrac{2\pi R_j}{v_j}}{\left|\dfrac{2\pi R_i}{v_i} - \dfrac{2\pi R_j}{v_j}\right|} = 2\pi \cdot \frac{R_i R_j}{|R_i v_j - R_j v_i|}\,.

Заметим, что для решения задачи нам требуется уметь сопоставлять значения синодического периода для разных пар, при этом мы можем пользоваться произвольной системой единиц. Если подставлять значения $R$ в кпк, а $v$ в км/с, синодический период будет измеряться в кпк/км·с. Рассчитаем синодические периоды для указанных в задании пар:

\begin{aligned} A:\ \frac{S_{\alpha,\beta}}{2\pi} &= \frac{0.5 \cdot 1}{|0.5 \cdot 310 - 1 \cdot 370|} = 2.3 \cdot 10^{-3}\ \text{кпк/км} \cdot \text{с}, \\ B:\ \frac{S_{\beta,\gamma}}{2\pi} &= \frac{1 \cdot 2}{|1 \cdot 250 - 2 \cdot 310|} = 5.4 \cdot 10^{-3}\ \text{кпк/км} \cdot \text{с}, \\ C:\ \frac{S_{\alpha,\gamma}}{2\pi} &= \frac{0.5 \cdot 2}{|0.5 \cdot 250 - 2 \cdot 370|} = 1.6 \cdot 10^{-3}\ \text{кпк/км} \cdot \text{с}, \\ D:\ \frac{S_{\beta,\delta}}{2\pi} &= \frac{1 \cdot 5}{|1 \cdot 220 - 5 \cdot 310|} = 3.8 \cdot 10^{-3}\ \text{кпк/км} \cdot \text{с}. \\ E:\ \frac{S_{\gamma,\delta}}{2\pi} &= \frac{2 \cdot 5}{|2 \cdot 220 - 5 \cdot 250|} = 1.2 \cdot 10^{-2}\ \text{кпк/км} \cdot \text{с}. \end{aligned}

Правильный ответ: CADBE

Критерии оценивания. 5

Пусть:

$n$ — общее число позиций (букв) в ответе;
$N_{\max} = \frac{n(n-1)}{2}$ — максимальное количество пар позиций;
$K$ — число пар, в которых относительный порядок букв в ответе участника совпадает с таковым в правильном ответе (например, если рассматривается пара букв $AB$ , то $A$ должна стоять в ответе участника раньше, чем $B$ , если в правильном ответе $A$ стоит раньше, чем $B$ , или, соответственно наоборот).
Если буква встречается в ответе несколько раз, то она не учитывается при подсчёте $K$ .

Оценивание производится по следующим правилам:

Определяется величина $f = \frac{K}{N_{\max}}.$
Если $f < 0.5$ (то есть менее половины пар расположены корректно), за задачу начисляется 0 баллов.
Если $f \geq 0.5$ , применяется линейное преобразование, переводящее интервал [0.5, 1] в интервал [0, 5]: Предварительная оценка $= 5 \cdot \left(\dfrac{f - 0.5}{1 - 0.5}\right)$ .
Полученная оценка округляется по правилам математического округления.
В случае, если участник записывает абсолютно верный ответ в обратном порядке, ему начисляется 1 балл за задачу.

Оригинал в Архива: prob2025blz.pdf · официални решения: psol2025blz.pdf