Съдържание

ВсОА 2026, Заключителен етап, 11. клас — Задача 2. Эксцентричная задача

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Тестовый тур. Условия задач. 11 класс · 27 април 2026 г. · 5 т.

Условие

В таблице представлены удельные (в расчете на единицу массы) энергия и момент импульса для нескольких малых тел Солнечной системы. Упорядочите тела по увеличению эксцентриситета их траектории.

Обозначение	$E$ , а. е. $^2$ /год $^2$	$L$ , а. е. $^2$ /год
A	$-4.93$	7.54
B	$-6.58$	10.38
C	$-7.89$	8.16
D	5.63	13.16
E	13.16	18.49

Отговори

Решение

А.В.Веселова

Решение. Заметим, что в условии численные значения приведены в гауссовой системе единиц «а. е. — год — масса Солнца». В такой системе гравитационный параметр Солнца численно равен $4\pi^2$ :

\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM_{\odot}} \quad \Rightarrow \quad GM_{\odot} = 4\pi^2\ \mathrm{а.\,е.}^3/\mathrm{год}^2.

Полная удельная энергия астероида, движущегося по кривой второго порядка, составляет в гауссовой системе

E = -\frac{GM_{\odot}}{2a} = -\frac{2\pi^2}{a\,[\mathrm{а.\,е.}]}\ \mathrm{а.\,е.}^2/\mathrm{год}^2.

Отсюда

a = -\frac{2\pi^2}{E}\,.

Запишем выражение для удельного углового момента:

L = \sqrt{GM_{\odot} a(1 - e^2)} = 2\pi\sqrt{a\,[\mathrm{а.\,е.}](1 - e^2)}\ \mathrm{а.\,е.}^2/\mathrm{год}.

Отсюда

e = \sqrt{1 - \frac{L^2}{4\pi^2 a}} = \sqrt{1 + \frac{L^2 E}{8\pi^4}}\,.

Рассчитаем большую полуось и эксцентриситет для всех астероидов, внесем результаты в таблицу.

Обозначение	$E$ , а. е. $^2$ /год $^2$	$L$ , а. е. $^2$ /год	$a$ , а. е.	$e$
A	$-4.93$	7.54	4.0	0.80
B	$-6.58$	10.38	3.0	0.30
C	$-7.89$	8.16	2.5	0.57
D	5.63	13.16	$-3.5$	1.50
E	13.16	18.49	$-1.5$	2.60

Ответ: BCADE

Критерии оценивания. Из ответа выбираются все упорядоченные пары букв $(X, Y)$ , в которых $X$ записана раньше $Y$ . Пары одинаковых букв не учитываются. Если в ответе одновременно встречаются пары $(X, Y)$ и $(Y, X)$ для каких-то $X \neq Y$ , обе такие пары удаляются (ответ сам себе противоречит). Каждой оставшейся паре приписывается вес из таблицы ниже; первичный балл равен сумме весов.

Веса пар (строка задает первую букву пары, столбец — вторую):

	..B	..C	..A	..D	..E
B..	—	1	1	1	1
C..	0	—	1	1	1
A..	0	0	—	1	1
D..	0	0	0	—	1
E..	0	0	0	0	—

Таблица перевода первичного балла в итоговый:

первичный балл	балл за задачу
$0, \ldots, 5$	0
6	1
7	2
8	3
9	4
10	5

Если перевернутый ответ участника совпадает с верным ответом, выставляется 1 компенсационный балл.

Оригинал в Архива: vos-2026-final-prob-B-11.pdf · официални решения: vos-2026-final-sol-B-11.pdf