Съдържание

ВсОА 2026, Регионален етап, 10. клас — Задача 9. Половина эклиптики

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Региональный этап — день 2. Условия задач. 10 класс · 25 февруари 2026 г. · 16 т.

Условие

Астрономы проводили наблюдения за звездой, находящейся на эклиптике. В моменты кульминации звезды была измерена ее лучевая скорость. Результаты наблюдений с разницей в полгода приведены в таблице.

Дата	Лучевая скорость
21.03	−35 км/с
23.09	5 км/с

Во время обоих сеансов наблюдений экваториальные координаты звезды были одинаковыми. Считая орбиту Земли круговой, определите:

A. Эклиптические координаты звезды

B. Полную гелиоцентрическую скорость звезды

Отговори

Решение

Обратим внимание, что лучевая скорость звезды изменяется. Причина этого изменения – это движение Земли вокруг Солнца с изменяющейся по направлению скоростью. Можно записать выражения:

\begin{cases} v_{r,1} = V_r - V_{\oplus,1} \\ v_{r,2} = V_r - V_{\oplus,2} \end{cases}

Орбита Земли (окружность с центром O, оси x и y пунктиром), точки E₁ и E₂ на концах пунктирного диаметра; сверху на оси y звезда S с векторами скорости v_τ (красный), v_r (синий) и полной скорости v (черный); красный отрезок от O к S; дуга угла φ₂ у центра. — Рис. 3: Схема задачи. Положение Земли относительно Солнца и звезды.

Так как разница между наблюдениями составляет строго половину года, а орбиту Земли мы считаем круговой, вклад скорости Земли в лучевую скорость звезды в этих точках одинаков по модулю, но противоположен по знаку. Следовательно, сложив оба уравнения, мы получим удвоенное значение гелиоцентрической лучевой скорости звезды:

V_r = \frac{1}{2}(v_{r,1} + v_{r,2}) = -15\ \text{км/с}

Орбита Земли с центром O, оси x и y, звезда S на оси y; в точках E₁ и E₂ показаны компоненты скорости Земли: синие стрелки v_r и красные стрелки v_τ. — Рис. 4: Схема задачи. Компоненты скорости Земли относительно направления на звезду (наверх). Синим обозначена лучевая компонента $v_r$ , красным – трансверсальная компонента $v_\tau$

А вычитая из первого уравнение второе, получаем проекцию скорости Земли на направление «Земля – звезда»:

V_{\oplus,1} = \frac{1}{2}(v_{r,1} - v_{r,2}) = -20\ \text{км/с}

Нарисуем картинку в плоскости эклиптики, обозначим на ней орбиту Земли и направление на звезду. Обозначим положения Земли в моменты первого и второго наблюдения. Введем угол $\varphi$ , который будем отсчитывать от направления на звезду против часовой стрелки. Вычислим этот угол:

V_{\oplus,1} = V_{\oplus}\sin\varphi = -20\ \text{км/с} \qquad \rightarrow \qquad \sin\varphi = -\frac{20}{29.7}

\varphi = -42.3^{\circ}.

Теперь мы можем определить эклиптические координаты звезды. После момента второго наблюдения, чтобы координаты Солнца совпали с координатами звезды, Земле нужно сместиться на угол $\varphi$ .

Получаем, что эклиптическая широта звезды равна $b = 0^{\circ}$ , так как звезда находится на эклиптике. А эклиптическую долготу можно определить из рисунка:

l_1 = 180^{\circ} + 42.3^{\circ} = 222.3^{\circ}

Но возможен, случай, в котором Земля может находится в точках $E_3$ и $E_4$ . В этом случае,

l_2 = 360^{\circ} - 42.3^{\circ} = 317.7^{\circ}

Орбита Земли с центром O, оси x и y, звезда S на оси y; точки E₄ (вверху слева) и E₃ (внизу справа) на пунктирном диаметре, с синими стрелками v_r и красными стрелками v_τ. — Рис. 5: Второй случай расположения Земли на орбите. $E_3$ – Земля в момент весеннего равноденствия.

Таким образом, ответ на первый вопрос задачи – $b = 0^{\circ}$ , $l = 222.3^{\circ}$ или $317.7^{\circ}$ .

Перейдем ко второму вопросу задачи. Между наблюдениями прошло полгода, звезда переместилась в пространстве на величину $\mu/2$ , которая, впрочем, нам неизвестна. Но при этом из-за движения Земли вокруг Солнца возникло параллактическое смещение звезды на величину $2\pi\sin\varphi$ ( $\pi$ – параллакс звезды). Множитель 2 возникает, поскольку параллактическое смещение в 2 раза больше, чем величина параллакса, а множитель $\sin\varphi$ появляется из-за уменьшения базы для расчета параллакса.

Так как суммарное изменение координат звезды по условию равно нулю, получим:

\frac{\mu}{2} = 2\pi\sin\varphi

Выразим отсюда $\mu$ :

\mu = 4\pi\sin\varphi

Теперь определим трансверсальную компоненту скорости звезды:

v_{\tau} = 4.74\frac{\mu}{\pi} = 4.74 \cdot 4\sin\varphi = 12.8\ \text{км/с}

Тогда полная скорость звезды будет равна

V = \sqrt{v_r^2 + v_{\tau}^2} = \sqrt{15^2 + 12.8^2} = 19.7\ \text{км/с}

Ответ: $b = 0^{\circ}$ , $l_1 = 222.3^{\circ}$ или $l_2 = 317.7^{\circ}$ , $v = 19.7\ \text{км/с}$ .

Рассмотрим вариант решения, в котором участник учитывал все возможные эффекты – аберрацию, прецессию, собственное движение и параллакс.

Орбита Земли с центром O, оси x и y; звезда S на оси y соединена отрезками с точками E₁ и E₂ на пунктирном диаметре орбиты; у S отмечен угол π₁ между направлениями на O и на E₁. — Рис. 6: Параллактическое смещение. Поскольку расстояние до звезды много больше радиуса орбиты Земли, параллактические углы равны, так как они опираются на одну и ту же базу $a_{\oplus}\sin\varphi$

Тогда за полгода изменение координат за счет прецессии будет равно $\xi/2$ , где $\xi = 50.2'' = 360^{\circ}/25800$ лет – постоянная прецессии на эклиптике, где находится звезда. Эклиптическая долгота звезды увеличится на эту величину, а широта меняться не будет.

Изменение эклиптической долготы за счет аберрации будет равно $2\gamma\cos\varphi$ , а широта также останется без изменений.

Рассмотрим вариант с точками на орбите $E_3$ и $E_4$ .

Изменение за счет параллактического смещения будет также только по долготе $2\pi\sin\varphi$ . В случае данной задачи все прецессия и аберрация увеличивают долготу, а параллактическое смещение уменьшает. И все эти изменения компенсируются собственным движением.

\frac{\xi}{2} + 2\gamma\cos\varphi - 2\pi\sin\varphi = \frac{\mu}{2}

25.1'' + 30.2'' - 2\pi\sin\varphi = \frac{\mu}{2}

Получить сразу отношение величины $\mu/\pi$ из такой записи и подставить его в формулу для трансверсальной скорости не видится возможным. Но мы можем провести оценку. Возможные значения параллакса $\pi \in [0''; 1'']$ . Тогда можно получить ограничения на величину $\mu \in [110.6; 113.5]''/\text{год}$ . Величина получилась очень большой.

Отсюда можно получить оценку снизу на трансверсальную скорость.

V_{\tau,\min} = 4.74\frac{\mu}{\pi} = 524\ \text{км/с}

В этом случае лучевая скорость много меньше трансверсальной, поэтому полная скорость будет также больше или равна 524 км/с. Данное значение звучит малореалистично.

Рассмотрим вариант с точками на орбите $E_1$ и $E_2$ .

\frac{\xi}{2} - 2\gamma\cos\varphi - 2\pi\sin\varphi = \frac{\mu}{2}

25.1'' - 30.2'' - 2\pi\sin\varphi = \frac{\mu}{2}

Ограничения на величину $\mu \in [10.5; 13.6]''/\text{год}$ . Величина получилась очень большой.

Отсюда можно получить оценку снизу на трансверсальную скорость.

V_{\tau,\min} = 4.74\frac{\mu}{\pi} = 64.4\ \text{км/с}

При оценке полной скорости в этом варианте нужно учитывать вклад лучевой скорости,

V = \sqrt{v_r^2 + v_{\tau}^2} = \sqrt{15^2 + 64.4^2} \approx 66\ \text{км/с}

Ответ: $b = 0^{\circ}$ , $l = 222.3^{\circ}$ , $v > 66\ \text{км/с}$ .

Критерии оценивания. 16

Основной вариант решения

При оценивании данной задачи арифметическая ошибка в каком-либо критерии или пункте снижает оценку за этот критерий или пункт до 0 баллов. Каждый пункт оценивается только в случае верного его выполнения.

К1. Определение эклиптической широты (0°) … 2

К2. Определение эклиптической долготы … 6

Определение проекции скорости Земли на луч зрения … 2
Определение угла $\varphi$ … 2
Определение значения эклиптической долготы (1 балл за каждый вариант) … $2 \times 1$

Ошибка в долготе на $180^{\circ}$ оценивается как $2 + 2 + 0$

К3. Определение лучевой гелиоцентрической скорости … 2

К4. Определение трансверсальной гелиоцентрической скорости … 4

Равенство параллактического смещения и собственного движения за год … 2
Определение величины трансверсальной гелиоцентрической скорости … 2

К5. Определение величины полной гелиоцентрической скорости … 2

Критерии оценивания. 16

Второй вариант решения. Применяется только в том случае, когда участник явно прописал, что рассматривает эффекты прецессии и аберрации.

К1. Определение эклиптической широты (0°) … 2

К2. Определение эклиптической долготы … 6

Определение проекции скорости Земли на луч зрения … 2
Определение угла $\varphi$ … 2
Определение значения эклиптической долготы … 2

Ошибка в долготе на $180^{\circ}$ оценивается как $2 + 2 + 0$

К3. Определение лучевой гелиоцентрической скорости … 2

К4. Оценка величины полной гелиоцентрической скорости … 6

Верная запись для всех эффектов ( $\xi$ , $\gamma$ и $\pi$ ), которые меняют координаты … $3 \times 1$
Выражение связи всех эффектов … 1
Определение значения минимальной полной скорости … 2

Оригинал в Архива: vos-2026-reg-prob-day2-10.pdf · официални решения: vos-2026-reg-sol-day2-10.pdf