ВсОА 2026, Регионален етап, 9. клас — Задача 7. Транзитная зона

• Астроном находится на Каллисто и наблюдает прохождение Ганимеда; максимальное время прохождения около 3 ч.

М. В. Силантьев, Е. Н. Фадеев

Решение. К галилеевым спутникам относятся Ио, Европа, Ганимед и Каллисто, поэтому остальные спутники можно не рассматривать. Из них Ио — ближайшая к планете, поэтому с нее невозможно наблюдать прохождение других галилеевых спутников по диску Юпитера. Орбиты галилеевых спутников почти точно лежат в плоскости экватора Юпитера, поэтому все прохождения можно считать центральными. Продолжительность прохождения зависит от относительной скорости спутника и углового размера планеты. Чем меньше относительная скорость (что соответствует большему синодическому периоду), тем дольше длится явление. Поэтому имеет смысл рассматривать только пары соседних спутников: Ио при наблюдении с Европы, Европу — с Ганимеда и Ганимеда — с Каллисто.

Обозначим внешний спутник цифрой 2, а внутренний — цифрой 1. Зная радиус орбиты спутника $a_2$ и радиус Юпитера $R_{\text{♃}}$, можно определить его угловой диаметр для наблюдателя:

Здесь 57.3 — число градусов в радиане. Также мы воспользовались малостью угла $\delta$, поскольку $R_{\text{♃}}$ как минимум в 10 раз меньше радиусов орбит интересующих нас спутников.

Прохождение продолжается от момента, когда передний край спутника появляется на диске Юпитера до момента, когда спутник целиком сходит с диска планеты. За это время центр спутника проходит угол, больший $\delta_{\text{♃}}$ на величину его углового диаметра $\delta_1$. Пренебрегая изменением расстояния до спутника во время прохождения, получим:

Здесь $R_1$ — радиус внутреннего спутника. Тогда полное угловое расстояние, которое должен пройти внутренний спутник, равно $\delta = \delta_{\text{♃}} + \delta_1$.

Дальше можно решать задачу несколькими способами.

Вариант 1. Найдем длину дуги орбиты, которую проходит внутренний спутник во время покрытия, в градусах ($\gamma$). Очевидно, что $\gamma \lt \delta$. Тогда, учитывая, что они опираются на одну хорду, сразу получаем ответ:

Зная массу Юпитера $M_{\text{♃}}$ и радиус орбиты спутника $a$, можно с помощью третьего закона Кеплера определить его сидерический период обращения:

Синодический период двух соседних спутников можно найти с помощью уравнения синодического движения:

Выберем систему отсчета, в которой спутник 1 и центр Юпитера покоятся. Тогда время, за которое внутренний спутник проходит дугу орбиты $\gamma$, равно

Вариант 2. Спутники движутся вокруг Юпитера с первыми космическими скоростями:

Перейдем в систему отсчета, вращающуюся вокруг Юпитера с угловой скоростью $\omega_2 = v_2/a_2$. Тогда переносная скорость спутника 1 в момент прохождения составит

а скорость спутника 1 относительно спутника 2 составит

Угловая скорость спутника 1 во время прохождения равна

Тогда время прохождения равно

Вариант 3. Перейдем в систему отсчета, в которой спутник 2 (где находится наблюдатель) неподвижен, а Юпитер движется относительно него со скоростью $v_2$. Тогда в момент прохождения скорость спутника 1 относительно 2 будет равна $u_1 = v_1 - v_2$. Угловые скорости спутника 1 и Юпитера составят соответственно

С точки зрения наблюдателя Юпитер и спутник движутся в противоположные стороны. Тогда угловая скорость спутника 1 относительно Юпитера

Мы получили такую же формулу для угловой скорости, как и в предыдущем варианте.

Теперь проведем вычисления, а результаты запишем в таблицы.

Дольше всего наблюдается прохождение Ганимеда при наблюдении с Каллисто — 3 часа.