X-ENS 2008, Приемен изпит, математика и физика — Задача 2. Le vent solaire

2.1 Modèle hydrostatique de Chapman pour la couronne solaire (1957)

La couronne solaire, supposée ici à symétrie sphérique, est la partie de l’atmosphère solaire située au-delà du rayon solaire et qui se dilue dans l’espace (voir Fig. 1). Dans le modèle dit hydrostatique, on décrit la couronne solaire comme un gaz parfait d’électrons et de protons dans lequel les collisions assurent les échanges thermiques (modèle collisionnel, ou « fluide »), de telle sorte que la température est la même pour les électrons et les protons. On néglige les éventuels champs électrique et magnétique, ainsi que tout mouvement d’ensemble. On admet de plus que dans les plasmas considérés, la conductivité thermique $\lambda$ n’est pas constante, mais dépend de la température T selon la loi :

où $\Lambda_0$ est une constante.

32. Justifier, à l’aide de ce qui a été vu dans la partie 1, que l’on peut a priori négliger le champ électrique.

33. Exprimer la pression $p(r)$ du plasma, à la distance $r$ du centre du Soleil, en fonction de la température $\mathrm{T}(r)$ et de la densité $n_p(r)$ en protons.

34. On suppose que le régime permanent est atteint. Montrer que la température $\mathrm{T}(r)$ s’écrit sous la forme :

où $r_0$ est une constante et $\mathrm{T}_0 \equiv \mathrm{T}(r_0)$. Déterminer la valeur de $\mu$.

35. Avec ce modèle, quelle serait la température au niveau de la Terre ? Utiliser les données du tableau 3 de la partie 2.2.

36. Établir l’équation de l’équilibre hydrostatique et l’écrire sous la forme :

Donner l’expression de $\mathrm{H}(r)$.

37. En déduire que la pression $p(r)$ s’écrit :

et donner l’expression de $p_\infty$ en fonction de $p_0 \equiv p(r_0)$.

38. Calculer numériquement $p_\infty$ et comparer cette valeur à la pression du milieu interstellaire, qui est de l’ordre de $10^{-14}$ Pa.

39. Quelle(s) critique(s) peut-on faire à ce modèle ? Dans quelle mesure suggère-t-il l’existence d’un vent solaire ?

2.2 Modèle exosphérique du vent solaire

La couronne solaire est maintenant modélisée comme la succession de deux régions séparées par une frontière appelée l’exobase. Cette frontière est définie comme la sphère de rayon $r_0 \approx 5\mathrm{R}_\odot$. Sous l’exobase se situe la barosphère, dans laquelle les collisions dominent et où le modèle d’équilibre hydrostatique précédent est valable. Au-delà de l’exobase se situe l’exosphère, dans laquelle le plasma est supposé sans collision (cinétique). Le vent solaire est émis au niveau de l’exobase. Les données utiles concernant l’exobase sont rassemblées dans le tableau 3.

Tab. 3: Caractéristiques de l’exobase.

2.2.1 Distribution des vitesses au niveau de l’exobase

La loi de distribution des vitesses est notée $f_{e,p}(\overrightarrow{v})$. Elle est définie telle que la probabilité élémentaire $\mathrm{dP}_{e,p}$ d’observer une particule (électron $e$ ou proton $p$) dont le vecteur vitesse est compris entre $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{v} + \mathrm{d}\overrightarrow{v}$ s’écrit :

La notation indicielle $e, p$ spécifie que les quantités se rapportent à celles des électrons pour l’indice $e$ ou à celles des protons pour l’indice $p$.

On suppose, pour le moment, que cette distribution des vitesses est maxwellienne pour les électrons et les protons, soit :

40. Vérifier que :

41. Montrer que la distribution $g_{e,p}(v)$ de la norme $v$ de la vitesse s’écrit :

42. Exprimer la vitesse quadratique moyenne $\sqrt{\langle v_{e,p}^2\rangle}$ ainsi que la vitesse la plus probable, notée $w_{e,p}$.

43. Exprimer la vitesse de libération $v_{\mathrm{lib}}$ au niveau de l’exobase. Cette vitesse est-elle la même pour les électrons et les protons ? Faire l’application numérique.

44. Exprimer, sous forme intégrale, les flux (nombre de particules par unité de temps et par unité de surface) d’électrons $\mathrm{F}_e$ et de protons $\mathrm{F}_p$ qui s’échappent au niveau de l’exobase (on précisera soigneusement les bornes des intégrales pour chaque variable).

45. En déduire qu’ils s’écrivent finalement :

46. Faire l’application numérique. En déduire qu’un champ électrique doit nécessairement apparaître.

2.2.2 Première approche : modèle de Chamberlain (1960)

Le modèle de Chamberlain consiste à tenir compte du potentiel électrique $\mathrm{V}(r)$, créé par la séparation de charge, en imposant la neutralité électrique de l’équilibre hydrostatique du plasma (pour lequel la distribution de Boltzmann est valable). On appelle $\phi_g(r) = -\mathrm{GM}_\odot/r$ le potentiel gravitationnel dans l’exosphère.

47. En s’inspirant des équations (1) et (2), exprimer $n_e(r)$ et $n_p(r)$ en fonction de $\phi_g(r)$ et $\mathrm{V}(r)$.

48. Montrer que le potentiel électrique, appelé potentiel de Pannekoek-Rosseland (PR), s’écrit :

Faire l’application numérique au niveau de l’exobase.

49. Exprimer les nouvelles vitesses de libération $v_{\mathrm{lib}}^{e,p}$ pour les électrons et les protons en fonction de G, $\mathrm{M}_\odot$, $r_0$ et des masses $m_p$ et $m_e$.

50. Calculer le rapport $\mathrm{F}_e/\mathrm{F}_p$ en fonction de $m_p/m_e$. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

51. Quelle hypothèse faut-il remettre en question ?

2.2.3 Modèle de Lemaire et Scherer (1971)

Le modèle de Lemaire et Scherer supprime l’hypothèse évoquée dans la question 51, mais impose la nullité du courant électrique qui s’échappe du Soleil. Le potentiel au niveau de l’exobase, noté $\mathrm{V}(r_0)$, n’est donc plus égal à $\mathrm{V}_{\mathrm{PR}}(r_0)$ et doit être déterminé de façon consistante.

Pour augmenter le flux de protons, le modèle de Lemaire et Scherer fait l’hypothèse que presque tous les protons peuvent quitter l’exobase, de telle sorte que la vitesse de libération des protons est quasi-nulle.

52. Montrer que les hypothèses précédentes permettent d’écrire :

53. Établir ensuite l’équation implicite suivante, portant sur le potentiel $\mathrm{V}(r_0)$ :

54. On pose $\mathrm{U}_0 \equiv \frac{e\mathrm{V}(r_0)}{k_{\mathrm{B}}\mathrm{T}_0}$ et on admet que la solution de l’équation précédente donne environ $\mathrm{U}_0 \approx 5$. Calculer $\mathrm{V}(r_0)$, comparer au résultat trouvé à la question 48 et commenter.

55. À l’aide d’un bilan d’énergie, exprimer la vitesse asymptotique $v_{\mathrm{SN}}$ (pour $r \to \infty$) du vent solaire.

56. Calculer numériquement $v_{\mathrm{SN}}$ et comparer les ordres de grandeur des contributions thermique, électrique et gravitationnelle intervenant dans l’expression précédente de $v_{\mathrm{SN}}$.

2.2.4 Distribution suprathermique des électrons : modèle de Pierrard et Lemaire (1996)

Le modèle précédent rend compte de la vitesse du vent solaire dit lent, que l’on observe dans le plan de l’écliptique (donc sur Terre). Un vent solaire qualifié de rapide, d’une vitesse de l’ordre de 750 km.s$^{-1}$, a été observé par la sonde Ulysse, vers la fin années 90, en dehors du plan de l’écliptique. Afin de l’expliquer, on suppose que les protons conservent une distribution maxwellienne des vitesses, mais que la distribution des vitesses des électrons, au niveau de l’exobase, est une lorentzienne donnée par :

où $w$ est une constante qui sera déterminée plus tard et $\mathrm{A}_\kappa$, dont on ne cherchera pas l’expression, assure la normalisation $\iiint f_e(\overrightarrow{v})\mathrm{d}v_x\mathrm{d}v_y\mathrm{d}v_z = 1$. L’indice $\kappa$ est compris entre 2 et 5 pour le vent solaire (on prendra $\kappa = 3$ pour les applications numériques). Comme dans le modèle précédent, on impose la nullité du courant électrique qui s’échappe du Soleil.

57. Représenter qualitativement les distributions maxwellienne et lorentzienne. En déduire, toujours qualitativement, que l’accélération du vent solaire peut être plus importante avec un tel modèle.

58. Calculer la vitesse la plus probable.

59. Montrer que la vitesse quadratique moyenne des électrons s’écrit :

On pourra effectuer une intégration par parties et utiliser la normalisation de $f_e(\overrightarrow{v})$.

60. En déduire l’expression de $w$ en fonction de $\mathrm{T}_0$, si on définit la température comme dans le cas d’une distribution maxwellienne. Faire l’application numérique.

61. Calculer le flux électronique $\mathrm{F}_e$ émis au niveau de l’exobase en supposant que $v_{\mathrm{lib}}^e \gg w$. Vérifier cette hypothèse a posteriori.

62. On fait l’approximation $v_{\mathrm{lib}}^p \simeq 0$. Montrer que alors :

Donner l’expression de $\beta_\kappa$.

63. Calculer enfin la vitesse asymptotique $v_{\mathrm{SN}}$ du vent solaire pour $\kappa = 3$. On donne $\mathrm{A}_3 = 2^4/\pi$.

64. Quelles sont les principales limitations du modèle que l’on vient de développer ?

2.3 Vent solaire avec champ magnétique : spirale de Parker

Quand on tient compte de l’effet du champ magnétique créé par le Soleil, on admet que les équations couplées entre les champs électromagnétiques et le mouvement des particules entraînent les conséquences suivantes :

• au niveau de l’exobase, le vent solaire est émis radialement dans le référentiel en rotation avec le Soleil,
• la vitesse du vent solaire dans ce même référentiel (notée $\overrightarrow{v_{\mathrm{SN}}}$ et dont la norme est supposée constante) est toujours colinéaire au champ magnétique $\overrightarrow{\mathrm{B}}$.

On se place en coordonnées sphériques ayant pour axe, l’axe de rotation du Soleil. On note $\theta$ la colatitude et $\varphi$ l’angle azimutal (longitude).

65. Établir, dans le référentiel en rotation avec le Soleil, la courbe paramétrée $(\theta(r), \varphi(r))$ représentant la trajectoire des particules.

66. On cherche le champ magnétique sous la forme :

Exprimer $\mathrm{B}_r(r)$ en fonction de la valeur $\mathrm{B}_0$ du champ magnétique au niveau de l’exobase.

67. En déduire l’expression du champ magnétique $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ et montrer que sa norme vaut :

68. Tracer les lignes de champ magnétique dans le plan $\theta = \pi/2$ et pour $\theta = \pi/4$. Ces lignes de champ forment ce qu’on appelle des spirales de Parker. Quelles sont les différences avec le champ magnétique créé par un dipôle magnétique ?

69. À l’aide des données fournies dans les différents tableaux, calculer la valeur du champ magnétique $\mathrm{B}_0$ à retenir au niveau de l’exobase pour $\theta = \pi/2$. Quel angle fait la spirale de Parker au niveau de la Terre par rapport au rayon vecteur ?

Fin du sujet

La photographie de la page ci-après représente la comète Hale-Bopp au moment de son passage à proximité de la Terre en 1997. Cette photo met en évidence à la fois la présence du rayonnement électromagnétique émis par le Soleil et la présence du vent solaire. On peut en effet distinguer deux queues : la queue courbe est due à la pression de radiation du Soleil sur les poussières neutres de la comète tandis que la queue droite est due au vent solaire et provient de l’interaction de celui-ci avec les ions de la comète. L’angle entre ces deux queues est dû à la spirale de Parker.