X-ENS 2010, Приемен изпит, математика и физика — Задача 4. Fluctuations d’intensité d’un laser

4.1 Le laser

33. Que signifie l’acronyme “LASER” ?

34. À quand remonte la première réalisation expérimentale d’un laser ?

35. Quelles sont les caractéristiques qui distinguent la lumière laser de la lumière issue d’une ampoule ?

36. Pourquoi un laser de $10\,\mathrm{mW}$ est-il considéré dangereux pour l’œil alors qu’aucune précaution n’est préconisée pour l’utilisation d’une ampoule à incandescence de $100\,\mathrm{W}$ ? La réponse devra être justifiée en invoquant quelques ordres de grandeur.

Un laser est constitué d’une cavité optique formée de deux miroirs distants d’une longueur $L$, se faisant face et entre lesquels est inséré un milieu amplificateur de lumière (voir figure 13). Le miroir arrière est parfaitement réfléchissant alors que le miroir avant est légèrement transparent, de transmission en intensité $T$ très petite devant 1 et de coefficient de réflexion en intensité $R = 1 - T$. À l’intérieur de la cavité s’établit un courant de photons se propageant uniquement selon l’axe optique et dans les deux directions. À chaque aller-retour entre les miroirs un photon donné dans la cavité a une probabilité $T$ de sortir par le miroir avant. Le flux de photons sortant est compensé par la création de nouveaux photons par le milieu amplificateur et on peut considérer qu’en régime permanent la puissance lumineuse intracavité $P_{\mathrm{in}}$ frappant le miroir avant est constante. Dans l’énoncé, la lumière émise par le laser fait référence à la lumière transmise par le miroir avant.

37. En se rappelant qu’un photon dans la cavité laser a une probabilité $T$ de sortir à chaque aller-retour, donner une expression approchée du temps de vie d’un photon dans la cavité laser, c’est-à-dire le temps moyen entre sa création et le moment où il sort de la cavité par le miroir avant.

38. Pour un laser Hélium-Néon de longueur $L = 20\,\mathrm{cm}$, émettant une puissance $P = 10\,\mathrm{mW}$ à la longueur d’onde $\lambda = 630\,\mathrm{nm}$ et ayant une transmission $T$ de $5\%$, donner la valeur de la puissance intracavité $P_{\mathrm{in}}$ et le temps de vie d’un photon dans la cavité.

4.2 Statistique des photons émis par un laser

La lumière laser présente des fluctuations d’intensité intrinsèques liées aux temps aléatoires de sortie des photons par le miroir avant. Dans cette partie, on étudie la statistique du nombre de photons émis par la cavité pendant un intervalle de temps $\tau$ donné. On considère toujours le laser de la figure 13, avec un miroir avant de transmission $T$. La puissance instantanée émise par le laser possède des fluctuations autour de sa valeur moyenne $\overline{P}$. La puissance intracavité $P_{\mathrm{in}}$ est supposée quant à elle sans fluctuation.

39. Exprimer le nombre $N$ de photons intracavité frappant le miroir avant pendant l’intervalle de temps $\tau$ en fonction de $\overline{P}$, $T$, $\tau$, $\lambda$, $h$ et $c$.

40. Pour tout entier $k \le N$, exprimer la probabilité $p_k$ d’avoir exactement $k$ photons émis par le laser pendant l’intervalle de temps $\tau$ en fonction de $k$, $N$ et $T$.

On rappelle que le nombre $C_N^k$ de combinaisons de $k$ éléments choisis parmi $N$ est $C_N^k = \dfrac{N!}{k!\,(N-k)!}$.

41. Montrer que, pour un entier $k$ fixé, dans la limite où $N$ tend vers l’infini et $T$ tend vers 0 tout en conservant le produit $NT = \mu$ constant, la probabilité $p_k$ tend vers la distribution de Poisson

On pourra utiliser la formule de Stirling

42. Exprimer la moyenne statistique $\overline{k} = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} k\,p_k$ du nombre de photons émis pendant le temps $\tau$ en fonction de $\mu = NT$ et interpréter le résultat obtenu.

43. Exprimer l’écart-type $\sigma(k) = \sqrt{\overline{k^2} - \overline{k}^2}$ en fonction de $\mu$. En déduire l’incertitude relative $\sigma(k)\,/\,\overline{k}$ lors d’une mesure de la puissance d’un faisceau laser effectuée pendant un temps $\tau$.

44. Un photodétecteur mesure pendant 1 seconde la puissance d’un laser de puissance moyenne $10\,\mathrm{mW}$ et de longueur d’onde $\lambda = 630\,\mathrm{nm}$. Quel est l’ordre de grandeur de l’incertitude relative sur la mesure due à la statistique poissonnienne des photons émis ? Quel serait cet ordre de grandeur si le temps de mesure était d’une nanoseconde ?

4.3 Réduction des fluctuations d’intensité

Dans cette partie, on étudie la possibilité d’utiliser un dispositif mécanique afin de réduire les fluctuations d’intensité d’un faisceau laser.

Un faisceau lumineux de puissance moyenne $\overline{P}$ et de longueur d’onde $\lambda$ provenant d’un laser est envoyé sur un miroir fixé sur un ressort de raideur $K$. Lorsque le ressort est au repos, le miroir se trouve à l’abscisse $x = 0$. On suppose que les mouvements du miroir sont uniquement provoqués par la lumière qui se réfléchit sur lui. On négligera donc les fluctuations thermiques de position du miroir.

On va s’intéresser dans cette partie à des phénomènes dont les temps caractéristiques sont grands devant la période d’oscillation du miroir, si bien que l’on peut négliger l’inertie du système : le miroir et le ressort sont supposés sans masse. Cela implique que, pour satisfaire le principe fondamental de la dynamique, la somme des forces s’exerçant sur le miroir est nulle à tout instant. Enfin, on négligera l’effet Doppler.

45. En considérant la quantité de mouvement moyenne cédée par les photons au miroir pendant un temps $\mathrm{d}t$, donner l’expression du recul moyen $\overline{x}$ du miroir sous l’effet de la pression de radiation du faisceau en fonction de $\overline{P}$, de la vitesse de la lumière $c$ et de la raideur $K$ du ressort.

Comme cela a été montré dans la partie 4.2, la lumière laser présente des fluctuations de puissance. Celles-ci vont induire par pression de radiation des fluctuations de la position du miroir. Afin d’étudier cet effet, le faisceau est découpé en paquets de longueur $c\,\tau$ numérotés par un indice $n$ (voir figure 14). Le paquet $n$ possède un nombre $k_n$ de photon et $\overline{k} = \overline{P}\tau\lambda/hc$ est la moyenne de la distribution des $k_n$. On suppose qu’au sein d’un paquet, les photons sont répartis uniformément le long de l’axe du faisceau.

46. Exprimer la densité linéique $d_n$ de photons dans le paquet $n$ en fonction de $k_n$, avant réflexion sur le miroir.

Le premier photon du paquet $n$ frappe le miroir à l’instant $t_n$. À cet instant, le miroir se trouve à l’abscisse $x_n = x(t_n)$.

47. Exprimer l’intervalle de temps $t_{n+1} - t_n$ pendant lequel le paquet $n$ interagit avec le miroir en fonction de $c$, $\tau$, $x_n$ et $x_{n+1}$.

48. Après réflexion sur le miroir, calculer la longueur du paquet $n$ et en déduire que la nouvelle densité linéique $d_n'$ de photons dans ce paquet s’écrit

49. Expliquer qualitativement pourquoi si le paquet $n$ possède une densité $d_n$ avant réflexion plus forte que la moyenne (respectivement plus faible), alors la densité $d_n'$ après réflexion sera diminuée (respectivement augmentée) par rapport à $d_n$ et donc que les déplacements du miroir lissent les fluctuations de puissance du faisceau réfléchi par ce miroir.

Le but des questions suivantes est d’évaluer quantitativement cet effet en montrant que $\sigma(d_n') \lt \sigma(d_n)$.

On s’intéresse au paquet $n$ de photons qui possède un nombre aléatoire $k_n$ de photons et on supposera que le paquet précédent possédait exactement $\overline{k}$ photons et a laissé le miroir à la position $x_n = \overline{x}$.

50. Calculer la quantité de mouvement cédée par les photons du paquet $n$ au miroir entre les instants $t_n$ et $t_{n+1}$ et en déduire la force de pression de radiation notée $F_n$ exercée par le paquet $n$ sur le miroir entre les instants $t_n$ et $t_{n+1}$. On exprimera le résultat en fonction de $\overline{x}$, $x_{n+1}$, $k_n$, $h$, $c$, $\tau$ et $\lambda$.

On supposera que c’est cette force $F_n$ qui s’exerce sur le miroir à l’instant $t_{n+1}$.

51. En utilisant les hypothèses sur l’inertie du système et l’expression de $F_n$, montrer que $x_{n+1}$ vérifie l’équation du second degré

52. En utilisant $\overline{k} = \overline{P}\tau\lambda/hc$ et l’expression de $\overline{x}$ trouvée à la question 45, réécrire l’équation précédente en fonction uniquement de $x_{n+1}$, $\overline{x}$, $c\,\tau$, $k_n$ et $\overline{k}$.

53. En supposant que les mouvements du miroir sont petits devant la longueur d’un paquet de photons (pour tout $n$, $x_n \ll c\,\tau$ et donc également $\overline{x} \ll c\,\tau$), montrer que

54. Montrer que

où $\overline{d} = \overline{k}/(c\,\tau)$ est la densité linéique moyenne de photons dans le faisceau avant réflexion et $A$ une constante que l’on exprimera en fonction de $\overline{x}$, $c$ et $\tau$.

Etant donné qu’il n’y a pas de perte de photon lors de la réflexion, la puissance moyenne du faisceau après réflexion sur le miroir est égale à la puissance moyenne avant réflexion.

55. Expliquer alors pourquoi la valeur moyenne de $d_n'$ vaut également $\overline{d}$.

56. En remarquant que $A$ et $(d_n - \overline{d})/\overline{d}$ sont chacun des infiniment petits d’ordre respectivement $\overline{x}/(c\,\tau)$ et $1/\sqrt{\overline{k}}$, montrer que

Lors d’une réflexion sur le miroir, on s’attend donc à un effet très faible de réduction des fluctuations d’intensité du faisceau. Les équipes de recherche qui tentent actuellement d’observer cet effet utilisent une cavité optique de type Fabry-Perot afin de multiplier les réflexions du faisceau sur le miroir et ainsi amplifier l’effet de réduction. Les expériences actuelles sont cependant encore limitées par les mouvements thermiques du micro-résonateur.