X-ENS 2018, Приемен изпит, математика и физика, математика и физика · инженерни науки — Задача 2. Seconde partie — Étude du flambement, sous chargement extérieur, d’une membrane fine gonflée

1 Modèle simplifié de flambement de coque.

Dans cette partie, nous étudions le comportement mécanique d’un élément de toiture ETFE. Celui-ci est soumis aux chargements extérieurs tels que le vent, la neige ou d’autres sollicitations ponctuelles comme les charges de maintenance. Nous limitons notre étude à l’analyse du comportement mécanique de la membrane supérieure d’un coussin ETFE. Celle-ci subit les chargements extérieurs sur sa face supérieure et la différence de pression entre la pression de gonflement et la pression de l’atmosphère.

1.1 Première approche du flambement : déplacement du sommet de la coque mince modélisée par un système à 1 degré de liberté.

Nous nous intéressons au premier mode de flambement de la membrane supérieure, sous chargement uniforme, correspondant à son affaissement. Nous considérons la partie supérieure du coussin ETFE et restreignons l’étude de sa déformation au déplacement de son sommet. Sur la figure (3), la structure est modélisée par deux ressorts de raideur $k$ et de longueur à vide $a$ et est soumise à la charge verticale $2\vec{F}=2F\,\vec{u}_y$.

Compte-tenu de la symétrie de cette structure, nous réduisons son modèle à un seul ressort, comme le représente la figure (4). Ce ressort est fixé à une extrémité par une rotule, au point A. Son autre extrémité, le point B, peut glisser sans frottement exclusivement suivant l’axe $(\mathrm{O},\vec{u}_y)$ de la glissière. La projection orthogonale du point A sur cet axe définit le point O. Nous notons $\vec{\mathrm{AO}}=\ell\,\vec{u}_x$ et $\vec{\mathrm{OB}}=y\,\vec{u}_y$.

1. Nous considérons d’abord le cas $F=0$. Établir l’équation d’équilibre du système à partir d’un raisonnement énergétique.

2. Discuter la situation des positions d’équilibre du système selon la valeur du rapport $a/\ell$. On commentera brièvement ces résultats.

3. Étudier la stabilité des positions d’équilibre.

• Nous supposons dorénavant $a/\ell>1$ et que la force $\vec{F}$ ($|\vec{F}|\neq 0$) appliquée à la structure est indépendante de la position du point B.

4. Construire, à partir d’un bilan énergétique, la grandeur $W(y)$ dont le minimum caractérise l’état d’équilibre du système.

5. Nous posons $Y=y/\ell$, $A=a/\ell$ $(A>1)$, $E^\star=\dfrac{1}{2}k\ell^2$, $\alpha=\dfrac{F}{k\ell}$ et $\psi(Y)=\dfrac{W(y)}{E^\star}$. Exprimer la grandeur $\Psi$ à l’aide de $Y$, $A$ et $\alpha$.

6. Donner l’allure de la représentation graphique de $\psi$ pour deux valeurs (positives) du paramètre $\alpha$ illustrant les deux types de situation envisageables.

7. Écrire l’équation d’équilibre sous la forme $\Phi(Y)=\alpha$.

8. Préciser l’équivalent de $\Phi$ pour $Y\to\pm\infty$ et celui pour $Y\to 0$. Exprimer les zéros de cette fonction.

9. En s’appuyant sur ces résultats, esquisser l’allure de la représentation graphique de $\Phi$.

10. Indiquer comment résoudre graphiquement l’équation d’équilibre.

11. Commenter, à partir de cette analyse graphique, les différentes situations d’équilibre du système.

12. Notons $\alpha_1$ une valeur de $\alpha$ telle qu’il n’existe qu’une seule position d’équilibre $Y_{\mathrm{eq}1}$, avec $Y_{\mathrm{eq}1}>0$. Donner l’aspect graphique de la dépendance de $Y_{\mathrm{eq}}$ (de l’équilibre stable) avec $\alpha$ lorsque ce paramètre évolue de $\alpha_1$ à $-\alpha_1$. Le phénomène de saut qui apparaît sur ce tracé est la manifestation d’une instabilité appelée flambement.

1.2 Détermination des paramètres du modèle élastique.

Nous considérons la membrane supérieure du coussin ETFE en vue d’identifier les paramètres $(k,a,F)$ intervenant dans le modèle développé dans la partie précédente. Dans un premier temps, nous analyserons le lien entre la tension dans la membrane et la différence de pression entre la pression de gonflement et la pression atmosphérique, ainsi que le lien entre $a$ et le rayon de courbure de cette membrane. Enfin, nous identifierons la raideur $k$ du coussin ETFE gonflé.

La géométrie (idéalisée) du coussin ETFE se présente comme un secteur de cylindre d’ouverture angulaire $2\theta$, de longueur $L$ (assez grande pour pouvoir s’affranchir des effets de bord) selon son axe $\vec{u}_z$, de rayon $R$ et de distance $2\ell$ entre les deux lignes de fixation. Sa courbure résulte de la différence, notée $P$, entre la pression intérieure au coussin (pression de gonflement) et la pression atmosphérique extérieure. En réaction à $P$, une tension linéique $T$ $\left[\mathrm{N\cdot m^{-1}}\right]$ apparaît sur le pourtour de cette membrane. La figure (5) représente un tronçon de longueur $\mathrm{d}z$ du secteur de cylindre, à l’équilibre mécanique. La figure (6) précise sa géométrie.

13. Déterminer l’expression de chacune des tensions linéiques $T_0$ et $T_0'$ apparaissant sur les frontières de la membrane (figure (6)), en fonction de la différence de pression $P$ et des paramètres géométriques du coussin.

14. Nous identifions la longueur à vide $a$ du ressort, introduite dans la partie précédente (figure (4)), à la distance entre le point de fixation M (ou N), et le sommet J du dôme formé par la membrane gonflée (figure (6)). Exprimer $a$ en fonction de $\ell$ et $R$.

15. Exprimer $a/\ell$ à l’ordre deux en $\ell/R$.

• On propose maintenant de déterminer la raideur du coussin ETFE gonflé, sous chargement de type neige. Considérons alors que le coussin ETFE gonflé est soumis à une charge linéique uniforme $-q\,\mathrm{d}z\,\vec{u}_y$ $\left[\mathrm{N\cdot m^{-1}}\right]$. Cette charge produit une déflexion de la membrane, par rapport à sa configuration sans charge. En vue de déterminer cette déflexion, nous considérons un modèle simplifié où la géométrie sans charge serait plane. La différence de pression $P$ et la courbure sont simplement traduites par leur conséquence, c’est-à-dire la présence de tensions $T_0\,\mathrm{d}z$ et $T_0'\,\mathrm{d}z$ appliquées aux extrémités d’un tronçon $[z,z+\mathrm{d}z]$ de membrane. On supposera ainsi que la charge de neige est négligeable devant la pression de gonflement, c’est-à-dire $q\ll P$, afin que les tensions $T_0\,\mathrm{d}z$ et $T_0'\,\mathrm{d}z$ soient identiques à celles trouvées en question 13. Sa déflexion est notée $f=f(x)$, comptée positivement suivant $-\vec{u}_y$. La figure (7) illustre le passage de la géométrie réelle courbe à la géométrie simplifiée plane de la membrane. La figure (8) détaille le système finalement étudié. La figure (9) isole un élément $[x,x+\mathrm{d}x]$ de ce système.

16. Établir les relations d’équilibre de l’élément $[x,x+\mathrm{d}x]$ représenté figure (9).

• Dans toute la suite, nous supposons $|\alpha|\ll 1$.

17. Démontrer que la tension linéique est uniforme. L’exprimer en fonction de $P$ et $R$.

18. Exprimer la déflexion $f=f(x)$ en fonction de $x$ et des paramètres $q$, $T_0$ et $\ell$.

19. Exprimer la déflexion maximale $f_M$ en fonction de $q$, $P$, $R$ et $\ell$.

20. Nous identifions la déflexion maximale $f_M$ de la membrane au déplacement du point $B$ sous l’action de la force $\vec{F}=-q\ell L\,\vec{u}_y$ (voir figures (3) et (4)). Déduire de cette analogie l’expression de la raideur $k$. On donnera cette expression en fonction de $P$, $R$, $L$, $\ell$, $h$ et $D=R\,(1-\cos\theta)$ (voir figure (6)). On supposera $f_M\ll D$.

1.3 Analyse du système de contrôle–commande du gonflement du coussin ETFE.

Afin de maintenir le coussin ETFE dans un bon état de gonflement, en situation normale comme en situation dégradée, un système de contrôle–commande surveille et ajuste la quantité et la pression de l’air. En fonctionnement normal, cette régulation doit permettre de limiter l’effet de la dilatation thermique de l’air. En fonctionnement dégradé, par exemple lors d’un percement de la membrane, elle assure la sécurité des personnes situées sous la structure.

On étudie ici la régulation dans le cas d’un percement de la membrane ETFE. Celui-ci peut être dû à un endommagement du tissu ETFE ou à une mauvaise régulation de la purge en air. Cette partie propose tout d’abord l’étude temporelle d’une régulation sans intervention d’un système de pompage. Ensuite, elle étudie cette réponse avec système de pompage. On néglige la compressibilité de l’air, aussi on modélisera, dans les schémas, le “fluide” emprisonné dans le coussin ETFE comme un fluide incompressible.

Nous notons $F(p)$ l’image, dans le domaine de Laplace, d’une fonction $f(t)$.

1.3.1 Modèle sans groupe de pompage.

Le système de régulation de l’air est représenté schématiquement dans la figure (10). Le coussin est modélisé par un réservoir de section $S$ et de hauteur $h=h(t)$ sur laquelle le contrôle est effectué. La hauteur consigne est notée $h_c$. En bas du réservoir, une purge permet une vidange avec un débit $d_2(t)$. Le réservoir est rempli selon le débit $d_1(t)$ contrôlé par une vanne régulée de manière proportionnelle à la différence $h_c-h$, avec des conditions de limitation supérieure et inférieure, soit :

21. Établir l’équation, en grandeurs de Laplace, décrivant ce dispositif de régulation pour $h_\ell\leq h(t)\leq h_c$.

22. Représenter le schéma fonctionnel correspondant.

23. Le réservoir est initialement plein ($h(0)=h_c$). On étudie la réponse du système à un créneau de vidange défini par la séquence :

où $\tau=S/K$ représente le temps caractéristique du système. Exprimer la dépendance temporelle de l’évolution $h=h(t)$ pour $t\in[0,\tau]$. On précisera le temps $T_1$ pour lequel le débit maximal de remplissage est atteint ainsi que la hauteur d’eau minimale $h_{\min}$.

24. En déduire l’évolution temporelle de $h(t)$ pour $t\in[\tau,+\infty]$. On précisera le temps $T_2$ à partir duquel le débit de remplissage est inférieur au débit maximal.

25. Esquisser la courbe de la réponse temporelle à ce créneau de vidange. Donner les valeurs frontières pour $S=2\ \mathrm{m^2}$, $K=2\times 10^{-3}\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}$, $h_c=2\ \mathrm{m}$ et $D=2\times 10^{-3}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}$, avec $\ln(2)\approx 0{,}7$.

1.3.2 Modèle avec groupe de pompage.

Le système inclut maintenant un groupe de pompage qui régule le débit de remplissage $d_1$ en fonction du niveau d’eau $h$ du réservoir. Ce groupe de pompage est composé d’un système électronique de mesure de la hauteur d’eau et d’un groupe motopompe. Le système électronique convertit la différence entre la hauteur d’eau $h(t)$ et la hauteur consigne $h_c$ en un angle de rotation consigne $\theta_c$ selon une relation intégratrice de constante $B\in\mathbb{R}^+$ :

Le groupe motopompe est composé de deux parties : un moteur et un système de pompage hydraulique. Le comportement du moteur est complexe et dépend notamment du couple résistant qu’oppose l’eau pompée. Ainsi, nous proposons un modèle simplifiée du fonctionnement du moteur résumé dans le schéma fonctionnel représenté figure (11). Dans ce modèle intervient le moment d’inertie $J$ du rotor du moteur autour de son axe ainsi qu’une constante de “frottement” positive $f$. Le couple résistant opposé par les frottements internes et l’eau pompée s’écrit alors $f\dot{\theta}$. La régulation du moteur se fait en position pour un angle consigne $\theta_c$ avec un contrôle proportionnel de coefficient $A\in\mathbb{R}^+$.

Enfin, l’angle de rotation du moteur met en mouvement le système de pompage hydraulique qui assure un débit de remplissage du réservoir $d_1(t)$ proportionnel à la vitesse de rotation du groupe motopompe. Ainsi, le débit de remplissage du réservoir est donné par : $d_1(t)=C\dot{\theta}(t)$. La figure (12) représente le système étudié. Dans un premier temps, nous étudierons la régulation propre du groupe de pompage. Puis, nous l’intégrerons dans le système global de régulation du réservoir. Enfin, nous étudierons la réponse de ce système à une fuite de faible débit constant.

26. Exprimer la fonction de transfert $T(p)=\Theta(p)/\Theta_c(p)$ du groupe de pompage dont le schéma fonctionnel est représenté figure (11).

27. Exprimer la fonction de transfert du système de régulation du réservoir définie par le rapport :

28. Représenter le schéma fonctionnel du système global de régulation du niveau du réservoir en notation de Laplace.

29. Déterminer la limite pour $t\to\infty$ de la hauteur $h$ en réponse à un échelon de débit de fuite tel que :

30. Commenter le résultat précédent. Proposer une modification simple du système de régulation afin que cette limite se fixe sur $h_c$.