Съдържание

Условие 3.1 Bruit de grenaille 3.2 Fluctuations de la pression de radiation 3.3 Limite quantique standard Решение 1 Éléments statistiques 2 Généralités 3 Remarques particulières

X-ENS 2018, Приемен изпит · Улм, физика и химия — Задача 3. 3 Limites quantiques à la sensibilité des détecteurs

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от X-ENS 2018

ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE — CONCOURS D’ADMISSION 2018 — FILIÈRE PC — COMPOSITION DE PHYSIQUE – C – (U) — Détection interférométrique d’ondes gravitationnelles

Внимание: Бележка към темата

Le dossier d’archive ne fournit pas de corrigé complet ni de barème détaillé. Le rapport du jury de Physique C est conservé intégralement et identifié comme commentaire, avec ses indications partielles et ses exemples explicitement présentés comme erreurs de candidats. Aucun résultat manquant n’a été inventé. La notation des matrices et des vecteurs ainsi que les valeurs numériques imprimées sont conservées.

Consignes de l’épreuve

L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.

Le sujet comprend 14 pages numérotées de 1 à 14.

Lorsque des applications numériques sont demandées, il convient de donner un résultat numérique avec trois chiffres significatifs.

Détection interférométrique d’ondes gravitationnelles — Introduction commune

L’existence d’ondes gravitationnelles a été prédite par la théorie de la relativité générale, formulée par Einstein au début du XXᵉ siècle. Ces oscillations de l’espace-temps ont été directement observées pour la première fois le 14 septembre 2015 par la collaboration scientifique LIGO, “Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory”. Au-delà d’un test positif de la théorie de la relativité générale, leur détection a marqué le début d’une nouvelle ère en astronomie, nous permettant d’observer l’Univers à l’aide de rayonnements physiquement différents des rayonnements électromagnétiques (lumière visible, ultraviolette ou infrarouge, rayons X ou gamma, radiofréquences) ou des rayons cosmiques (noyaux atomiques et particules de haute énergie).

Ce sujet présente quelques propriétés des ondes gravitationnelles et des instruments qui ont permis de les détecter. Il est constitué de trois parties indépendantes. La première partie s’intéresse à la physique des ondes gravitationnelles et aux effets observables qu’elles produisent sur Terre. La deuxième partie consiste en une modélisation simplifiée des interféromètres optiques qui ont permis de détecter les premières ondes gravitationnelles. La troisième partie permet de déterminer une limite à la sensibilité de ces détecteurs liée aux fluctuations du nombre de photons qui y circulent.

Table des matières originale

Partie native	Page imprimée
1 Quelques propriétés des ondes gravitationnelles	3
1.1 Déformations de l’espace-temps	3
1.2 Sources d’ondes gravitationnelles	4
1.3 Rayonnement gravitationnel d’un système binaire	5
1.4 GW150914	6
2 Détection interférométrique d’ondes gravitationnelles	7
2.1 Miroirs suspendus	7
2.2 Résonateurs optiques	8
2.3 Interféromètre de Michelson	10
3 Limites quantiques à la sensibilité des détecteurs	11
3.1 Bruit de grenaille	11
3.2 Fluctuations de la pression de radiation	13
3.3 Limite quantique standard	13

Constantes et formules utiles

Constante	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse de la lumière	$c$	$3{,}00\times10^8$	$\mathrm m.\mathrm s^{-1}$
Constante universelle de la gravitation	$G$	$6{,}67\times10^{-11}$	$\mathrm m^3.\mathrm{kg}^{-1}.\mathrm s^{-2}$
Masse du Soleil	$M_\odot$	$1{,}99\times10^{30}$	$\mathrm{kg}$
Megaparsec	$\mathrm{Mpc}$	$3{,}09\times10^{22}$	$\mathrm m$
Accélération de la pesanteur terrestre	$g$	$9{,}81$	$\mathrm m.\mathrm s^{-2}$
Constante de Planck	$h=2\pi\hbar$	$6{,}63\times10^{-34}$	$\mathrm m^2.\mathrm{kg}.\mathrm s^{-1}$
Constante de Boltzmann	$k_B$	$1{,}38\times10^{-23}$	$\mathrm m^2.\mathrm{kg}.\mathrm s^{-2}.\mathrm K^{-1}$
Périmètre terrestre	$L_t$	$40\,000$	$\mathrm{km}$

\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x)

2\cos(x)\sin(x)=\sin(2x)

(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+O(x^3)

La valeur moyenne d’une variable aléatoire $X$ est notée $\langle X\rangle$ .

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est noté $\vec u.\vec v$ .

Условие

Les détecteurs d’ondes gravitationnelles requièrent une technologie de pointe dans tous les domaines de l’ingénierie. Les vibrations mécaniques, les fluctuations de pression de l’air, les bruits thermiques dans les miroirs et les fils de suspension, etc, pourraient aisément masquer les faibles signaux des ondes gravitationnelles.

Dans cette partie nous allons voir que l’une des limites à la sensibilité de LIGO provient de la nature quantique de la lumière. La statistique des photons émis par un laser en régime “normal” de fonctionnement est décrite par une distribution de probabilités Poissonienne. Pour un faisceau avec un flux moyen de photons $\Phi$ , la probabilité de détecter $m$ photons pendant un intervalle de temps $t$ vaut alors

Q(m,t)=e^{-\Phi t}\frac{(\Phi t)^m}{m!}\qquad(28)

3.1 Bruit de grenaille

Q46 Relier le flux de photons moyen $\Phi$ à la puissance moyenne $\mathcal P$ du faisceau et à sa longueur d’onde $\lambda$ . Vérifier que l’équation 28 donne bien $\langle m\rangle=\Phi t$ pour la valeur moyenne $\langle m\rangle$ du nombre de photons détectés pendant un temps $t$ , et que l’écart-type $\Delta m=\sqrt{\langle m^2\rangle-\langle m\rangle^2}$ de ce nombre de photons vérifie $\Delta m=\sqrt{\langle m\rangle}=\sqrt{\Phi t}$ .

Q47 Ce faisceau est envoyé sur un miroir partiellement réfléchissant sans pertes avec un coefficient de transmission $T$ en intensité : $T$ est donc la probabilité pour qu’un photon donné soit transmis à travers le miroir. Déterminer les flux moyens de photons $\Phi_T$ et $\Phi_R$ dans les faisceaux transmis et réfléchi. Pour exactement $k+l$ photons incidents, quelle est la probabilité pour que $k$ photons soient transmis et $l$ photons soient réfléchis ? Ce nombre de photons incidents étant en réalité décrit par la statistique Poissonienne définie par l’équation 28, calculer la probabilité $P(k,l,t)$ de trouver $k$ photons dans le faisceau transmis et $l$ photons dans le faisceau réfléchi pendant un temps $t$ , et montrer que les faisceaux transmis et réfléchi sont décrits par des distributions de probabilité Poissonniennes décorrélées.

Q48 Vérifier que si $\langle m\rangle\gg1$ alors $\Delta m\ll\langle m\rangle$ . Montrer qu’à l’ordre 1 en $\Delta m/\langle m\rangle$

\langle\sqrt m\rangle=\sqrt{\langle m\rangle},\qquad(29)

\Delta\sqrt m=\sqrt{\langle(\sqrt m)^2\rangle-\langle\sqrt m\rangle^2}=\frac12.\qquad(30)

Pour y parvenir on pensera à développer la fonction $\sqrt m=\sqrt{\langle m\rangle+(m-\langle m\rangle)}$ au voisinage de $\langle m\rangle$ .

Pour comprendre le rôle des fluctuations du nombre de photons, le détecteur d’ondes gravitationnelles sera modélisé ici de manière plus élémentaire que dans la partie 2. Nous considérerons qu’il s’agit d’un simple interféromètre de Michelson, dont la séparatrice semi-réfléchissante est placée à l’origine des coordonnées $Oxy$ et orientée à 45° par rapport à la direction de propagation $Ox$ d’un faisceau laser incident sur cette lame. Les bras de l’interféromètre, orientés suivant les axes $Ox$ et $Oy$ , ont des longueurs respectives

L_x=L_0(1+h_G/2)+\lambda\theta/(4\pi),\qquad(31)

L_y=L_0(1-h_G/2)-\lambda\theta/(4\pi)\qquad(32)

où $L_0$ est la longueur au repos, $h_G$ est le signal de l’onde gravitationnelle que l’on cherche à détecter et dont la signification est discutée dans la partie 1, et $\theta\in]{-\pi},\pi]$ est une phase contrôlée par l’expérimentateur.

Aux extrémités des bras de l’interféromètre sont placés des miroirs parfaits dont les coefficients de réflexion en amplitude valent $-1$ . Nous nous placerons dans la limite quasi-statique, ce qui signifie que nous supposerons $h_G$ constant aux échelles de temps considérées dans cette partie.

La puissance du laser est notée $\mathcal P_0$ , sa longueur d’onde est $\lambda$ . Comme dans la partie précédente, on traitera les faisceaux comme des ondes planes scalaires se propageant dans le vide. Ces ondes seront exprimées en notation complexe sous la forme

\mathcal E(\vec r,t)=Ee^{-\mathrm i(\omega t-\vec k.\vec r)}\qquad(33)

où, dans l’hypothèse quasi-statique, l’amplitude complexe $E$ est constante, la pulsation $\omega$ est celle du laser, et le vecteur d’onde $\vec k$ est parallèle à $Ox$ ou $Oy$ . Après la lame séparatrice, les champs $\mathcal E_{ix}$ et $\mathcal E_{iy}$ entrant dans les bras de l’interféromètre sont reliés au champ $\mathcal E_0$ produit par le laser via

\mathcal E_{ix}(\vec0,t)=\mathcal E_{iy}(\vec0,t)=\frac{\mathcal E_0(\vec0,t)}{\sqrt2},\qquad(34)

tandis que le champ envoyé vers le détecteur optique est lié aux faisceaux revenant depuis les bras de l’interféromètre via

\mathcal E_D(\vec0,t)=\frac{\mathcal E_{oy}(\vec0,t)-\mathcal E_{ox}(\vec0,t)}{\sqrt2}.\qquad(35)

Q49 Déterminer l’expression du champ $\mathcal E_D(\vec0,t)$ en fonction du champ $\mathcal E_0(\vec0,t)$ produit par le laser, de la phase $\theta$ , du signal gravitationnel $h_G$ , de la longueur $L_0$ des bras de l’interféromètre et de la norme $k$ du vecteur d’onde que l’on reliera à la longueur d’onde $\lambda$ . Relier la puissance $\mathcal P_D$ envoyée vers le détecteur optique à la puissance $\mathcal P_0$ du laser.

La nature quantique de la lumière rend le signal mesuré par le détecteur optique discret, proportionnel au nombre de photons $m_D$ détectés pendant le temps d’échantillonnage $t$ choisi. Ce nombre obéit à une statistique Poissonienne, ses fluctuations vont donc induire du bruit sur l’estimation de l’onde gravitationnelle $h_G$ , appelé “bruit de grenaille”.

Q50 Exprimer le flux de photons moyen $\Phi_D$ envoyé vers le détecteur optique en fonction du flux de photons moyen $\Phi_0$ produit par le laser et des paramètres de la question précédente. Déterminer le nombre moyen $\langle m_D\rangle$ de photons détectés pendant un temps $t$ et son écart-type $\Delta m_D=\sqrt{\langle m_D^2\rangle-\langle m_D\rangle^2}$ .

Q51 Déterminer la sensibilité $|\partial\langle m_D\rangle/\partial h_G|$ de ce détecteur d’ondes gravitationnelles (c’est-à-dire la variation du signal sortant $\langle m_D\rangle$ par rapport au signal entrant $h_G$ ), en fonction des mêmes paramètres. Dans la limite $h_G\to0$ , pour quelle valeur $\theta_1$ de $\theta$ cette sensibilité est-elle maximale ? Que vaut alors $\langle m_D\rangle$ ?

Q52 Calculer la fonction

\frac1{\Delta m_D}\left|\frac{\partial\langle m_D\rangle}{\partial h_G}\right|

et trouver la valeur $\theta_2$ de $\theta$ qui la maximise dans la limite $h_G\to0$ . Pourquoi le réglage optimal de l’interféromètre correspond-il à $\theta=\theta_2$ plutôt qu’à $\theta=\theta_1$ ?

On fixe un temps d’échantillonnage $t$ et on effectue des mesures répétées du nombre $m_D$ pour en déduire $h_G$ . Puisque $m_D$ fluctue, l’estimation de $h_G$ à chaque mesure fluctue également. La relation reliant $m_D$ et $h_G$ est la même que celle qui relie $\langle m_D\rangle$ et $h_G$ calculée dans la question 50.

Dans la suite on suppose que l’on règle l’interféromètre sur $\theta=0$ , que $m_D\gg1$ et que le signal gravitationnel vérifie $0<h_GL_0/\lambda\ll1$ .

Q53 Développer la relation calculée dans la question 50 à l’ordre le plus bas non nul en $h_G$ et l’inverser pour exprimer $h_G$ en fonction de $m_D$ , puis déterminer l’écart-type $\Delta h_G^{(D)}$ de $h_G$ dû au bruit de grenaille.

3.2 Fluctuations de la pression de radiation

Nous venons de montrer que le bruit de grenaille des photons sur le détecteur optique conduit à une incertitude $\Delta h_G^{(D)}$ sur la mesure de l’amplitude $h_G$ de l’onde gravitationnelle effectuée entre les instants $t_0$ et $t_0+t$ . Cependant, le bruit Poissonnien des photons produit un autre effet physique sur les miroirs de l’interféromètre, conduisant à une incertitude supplémentaire sur la mesure de $h_G$ . Nous allons pour cela regarder ce qui s’est passé avant la mesure, entre les instants $t_0-t$ et $t_0$ , et considérer les nombres de photons $m_x$ et $m_y$ rétroréfléchis entre ces deux instants par les miroirs mobiles MFx et MFy terminant les bras de l’interféromètre.

Q54 Que valent les moyennes $\langle m_x\rangle$ et $\langle m_y\rangle$ et les écarts-types $\Delta m_x$ et $\Delta m_y$ de $m_x$ et $m_y$ ? Compte tenu des hypothèses de notre modèle (notamment de la question 47), les fluctuations statistiques de $m_x$ et $m_y$ sont-elles corrélées ?

Q55 Que vaut la quantité de mouvement d’un photon de vecteur d’onde $\vec k$ ? Lorsque ce photon est rétroréfléchi sur un miroir, quelle quantité de mouvement lui transfère-t-il ? Que vaut la force moyenne $F$ exercée par la lumière sur chacun des miroirs ?

Cette pression de radiation moyenne, connue, est compensée par un système de contrôle externe. En revanche les fluctuations de cette pression de radiation, dues à celles du nombre de photons, créent des déplacements aléatoires des miroirs. On pourra considérer dans la suite que toutes les forces autres que les fluctuations de la pression de radiation se compensent.

Q56 Déterminer les écarts-types des quantités de mouvement transférées à chacun des miroirs entre les instants $t_0-t$ et $t_0$ . En faisant intervenir la masse $M$ de chaque miroir, en déduire les écarts-types de leurs vitesses, puis les écarts-types $\Delta L_x$ et $\Delta L_y$ des longueurs $L_x$ et $L_y$ mesurées un temps $t$ plus tard, entre $t_0$ et $t_0+t$ .

Q57 Déterminer l’écart-type $\Delta(L_y-L_x)$ induit sur la différence de marche $L_y-L_x$ entre les deux bras de l’interféromètre. En déduire l’écart-type $\Delta h_G^{(P)}$ sur la mesure de l’amplitude des ondes gravitationnelles $h_G$ dû aux fluctuations de la pression de radiation.

3.3 Limite quantique standard

Dans la mesure où les fluctuations du nombre de photons à différents instants ne sont pas corrélées, l’incertitude totale sur la mesure de $h_G$ due au bruit de grenaille et aux fluctuations de la pression de radiation vaut

\Delta h_G=\sqrt{\left(\Delta h_G^{(D)}\right)^2+\left(\Delta h_G^{(P)}\right)^2}\qquad(36)

Pour les applications numériques de cette partie, on prendra $\lambda=1064\,\mathrm{nm}$ pour la longueur d’onde du laser et $M=40\,\mathrm{kg}$ pour la masse de chaque miroir. La longueur réelle des bras de l’interféromètre LIGO vaut $L_0=4000\,\mathrm m$ , et la puissance du laser valait $\mathcal P_0=20\,\mathrm W$ lors de la détection du premier signal gravitationnel. Cependant, la configuration optique de LIGO est plus complexe que le simple interféromètre de Michelson considéré ici, et des systèmes optiques supplémentaires partiellement décrits dans la partie 2 de ce problème ont permis d’obtenir des valeurs effectives $L'_0=1000\,\mathrm{km}$ et $\mathcal P'_0=100\,\mathrm{kW}$ .

Q58 Déterminer l’incertitude totale $\Delta h_G$ en fonction de la puissance du laser $\mathcal P_0$ , de sa longueur d’onde $\lambda$ , de la longueur $L_0$ des résonateurs optiques, de la masse $M$ des miroirs, du temps d’échantillonnage $t$ , de la vitesse de la lumière $c$ et de la constante de Planck réduite $\hbar$ .

Q59 Quel temps d’échantillonnage maximal peut-on utiliser pour mesurer un signal oscillant à une fréquence allant jusqu’à 250 Hz ? Évaluer $\Delta h_G$ numériquement dans ce cas, pour les valeurs réelles $L_0$ et $\mathcal P_0$ : le bruit est-il inférieur au signal $h_G\approx10^{-21}$ ? Qu’en est-il du bruit calculé avec les valeurs effectives $L'_0$ et $\mathcal P'_0$ ?

Q60 Montrer que $\Delta h_G$ admet un minimum en fonction de la puissance $\mathcal P_0$ du laser. Donner l’expression de $\Delta h_G$ à ce minimum et vérifier qu’elle ne dépend pas des paramètres du laser. Que vaut cette limite pour $t=1\,\mathrm{ms}$ , en prenant la valeur effective $L'_0$ pour la longueur de l’interféromètre ? La puissance laser effective $\mathcal P'_0$ est-elle suffisante pour l’atteindre ?

Cette incertitude minimale est la limite quantique standard pour ce type de mesure. Ce n’est pas une limite fondamentale : elle dépend de la configuration optique de l’interféromètre, mais aussi des états quantiques des faisceaux qui y circulent. Les nouvelles générations de détecteurs d’ondes gravitationnelles utiliseront des interféromètres avec des géométries différentes et des états non-classiques de la lumière avec des fluctuations quantiques réduites par rapport à celles d’un faisceau laser.

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива няма официално решение на тази задача.

Rapport du jury PC 2018 — Épreuve Physique C

Membres du jury : M. Berhanu, A. Bres, F. Levrier

1 Éléments statistiques

– 401 copies rendues

– Note minimale : 2,5

– Note maximale : 20

– Moyenne : 9,41

– Écart-type : 3,78

Les 50 meilleures copies (typiquement celles des candidats admissibles à Ulm) vont de 13,9 à 20, pour une moyenne de 16,37 et un écart-type de 1,89.

2 Généralités

Le sujet de cette session portait sur la physique des ondes gravitationnelles.

La première partie questionnait d’abord leur influence sur la matière (dilatation et contraction des longueurs). Considérant une distribution quelconque de masse, et usant d’une analogie électromagnétique, on arrivait à la formule du quadrupôle d’Einstein. On se focalisait ensuite sur un système binaire (analogue aux mesures faites par VIRGO) pour déterminer les caractéristiques du signal émis, avant de finalement revenir aux données réelles du système GW150914.

La seconde partie s’intéressait à la détection des ondes gravitationnelles par des dispositifs interférentiels. On commençait par s’interroger sur le filtrage mécanique du bruit auquel sont soumis les miroirs. Une étude simplifiée du résonateur optique (de type Fabry-Pérot) était ensuite proposée, permettant d’établir les ordres de grandeurs de la puissance récoltée ainsi que la forme des signaux de sortie. Enfin, un retour à l’interféromètre de Michelson permettait de traiter la question de la sensibilité du dispositif, et de son lien avec sa longueur et la qualité des miroirs.

Enfin, la dernière partie se penchait sur le problème du bruit de mesure. L’étude du bruit de grenaille, lié à la statistique Poissonienne de la distribution de photons, était d’abord menée. On présentait ensuite le bruit lié à la pression de radiation. Enfin, les deux effets étaient combinés afin d’encadrer la sensibilité du détecteur.

Cette année, le jury a été particulièrement peiné de constater le peu d’intérêt qu’accordaient les candidats à l’homogénéité de leurs résultats. Ainsi, il n’a pas été rare de croiser des $1/R^2\ll1$ , des $v_g=\sqrt{v_\phi}=c$ , ou même un $\omega^{5/3}\ll c$ . Ces erreurs sont systématiquement pénalisées.

À l’inverse, le jury se félicite d’avoir trouvé dans les meilleures copies une bonne maîtrise du cours de base, des expressions homogènes et pertinentes, et un sens physique certain. Le recul sur les notions acquises en classes préparatoires est indispensable pour aborder cette épreuve qui, bien qu’originale dans son contenu, n’exige rien qu’un élève ne sache après deux ans en CPGE.

Il est attendu d’élèves présentant les concours des grandes écoles (et pas que ceux des Écoles Normales Supérieures) d’être au fait des règles fondamentales de présentation. Les copies raturées, recorrigées plusieurs fois, sans espace entre les questions, sans mise en avant des résultats, où les raisonnements doivent être suivis à l’aide de flèches (!), toutes ces raisons, ensemble ou individuellement, sont autant de motifs de ne pas accorder de points. Une copie n’est pas un brouillon de réflexion mais un moyen de communication avec le correcteur.

3 Remarques particulières

Q1 : Alors que le formulaire donnait le périmètre terrestre (40 000 km), une fraction non-négligeable des candidats n’a apparemment pas remarqué qu’un trajet de 10 000 km amenait nécessairement le voyageur du pôle Nord à l’Équateur.

Q3 : Le jury a apprécié la grande quantité d’exemples d’ondes transverses fournis par les candidats, prouvant une culture physique riche. Cependant, il souhaiterait préciser que les exemples suivants n’en sont pas : les ondes sonores, les ondes de marées, les ondes sismiques (en général).

Q4 : Il n’est pas acceptable à ce niveau de faire un développement limité sur une quantité matricielle, du moins pas sans justification. Les démonstrations acceptées sont celles qui passent aux coefficients pour faire le développement, avant de revenir à la notation matricielle à la fin.

Q5 : Le sujet imposant la notation $h_{xx}$ , $h_{yy}$ , ... toute réponse impliquant $\mathbf h$ (seul) a été systématiquement refusée. Un candidat doit être à même de distinguer dans sa copie les quantités scalaires, vectorielles et matricielles.

Q6 : Trop souvent pour cette question, les candidats se sont lancés dans des démonstrations à rallonge pour arriver à la conclusion (triviale ?) qu’une onde obéissant à l’équation de D’Alembert devait avoir $v_\phi=v_g=c$ . Les candidats arrivés rapidement à cette conclusion sont peu nombreux.

Q7 : Lorsque le sujet demande «À quelle grandeur physique $\mathbf Q$ est-il homogène », la mention de grandeur physique est essentielle. À ce titre, répondre $[Q]=ML^2$ est non-pertinent, quand le terme de moment d’inertie était attendu.

Q8 : Cette question, certes calculatoire, a été très peu traitée correctement. Le jury s’étonne que des élèves de CPGE ne soient pas capables de mener correctement un développement limité à l’ordre 2. Dans trop de cas, les candidats se sont arrêtés un ordre trop tôt, ou n’ont pas suffisamment développé leur réponse.

Q11 : Certains candidats ont pensé berner le jury en calculant a posteriori la bonne dimension de $\epsilon_0$ qui leur permettrait d’obtenir une puissance. Malheureusement pour eux, le jury n’est pas dupe, et les points n’ont pas été accordés. De manière générale, les candidats gagneraient à être plus honnêtes dans leurs copies, et devraient prendre conscience que le jury, plus expérimenté, détecte presque toujours les tentatives malhonnêtes. Celles-ci ne le mettent par ailleurs pas dans de bonnes dispositions pour le reste de la correction.

Q13 : Le jury souhaite rappeler que l’hypothèse de système isolé conduit directement au fait que le barycentre du système est en translation rectiligne uniforme (ou immobile, naturellement). Énoncer que cette hypothèse veut dire que chacune des masses possède une accélération nulle est une erreur de mécanique élémentaire. Par ailleurs, la masse totale est conservée car chaque masse est constante comme l’annonce le sujet, pas parce que le système est isolé.

Q16 : Si le jury est souvent bienveillant sur la question des facteurs numériques (quand ceux-ci sont proches de l’unité), il a été particulièrement vigilant à ceux-ci dans cette question. La distance entre les deux masses était de $2r$ , il fallait bien entendu le prendre en compte. Tout résultat non-homogène (bien trop fréquent) a été sanctionné.

Q17 : Savoir que l’énergie potentielle de gravitation est négative (lorsque son origine est prise nulle à l’infini, ce qui était précisé par le sujet) paraît faire partie des connaissances de base en mécanique du point. Malheureusement, une partie significative des candidats semblait l’ignorer.

Q22 : L’étude du rayonnement dipolaire ayant disparu des programmes, démontrer que la taille typique de la distribution est faible devant la longueur d’onde n’est pas véritablement du cours. Cependant, montrer que le rapport de ces deux quantités se ramène à celui de la vitesse typique de la distribution sur la vitesse de la lumière demandait une ligne de calcul. Toute démonstration passant ce point et ne parvenant à démontrer ce qui était demandé qu’au prix d’une application numérique (souvent fausse, dimensionnellement et numériquement) a été ignorée.

Q23 : Lorsqu’une quantité, ici $h$ , est proportionnelle à $r^2\Omega^2$ , et si $r$ dépend de $\Omega$ , il est rigoureusement faux de prétendre que h croit avec $\Omega$ . Peu de candidats se sont inquiétés du comportement de $r(\Omega)$ avant de répondre à cette question. En utilisant la question 16, on savait que $r\propto\Omega^{-2/3}$ , et par conséquent $h\propto\Omega^{2/3}\propto\nu^{2/3}$ .

Q24 : La valeur typique de $h$ $(\approx10^{-21})$ étant donnée quelques lignes plus loin (début de la partie 2), il convenait de s’interroger sur des résultats fantaisistes. Le jury a ainsi pu se voir proposer une grande quantité d’exposants, allant de -90 à +60. Un tel manque de clairvoyance est préjudiciable.

Q26 : Environ un quart des candidats seulement parvient à trouver l’équation du pendule simple forcé. Que ce pourcentage soit si faible est inquiétant pour des élèves de Mathématiques Spéciales composant pour le concours des Écoles Normales Supérieures.

Q27 : Les candidats ayant abordé cette question ont trop souvent pensé qu’il suffisait de se placer dans le référentiel du point d’attache, non-galiléen, et de considérer que la force supplémentaire était la pseudo-force d’inertie d’entraînement. Ce faisant, il fallait cependant transformer $x$ en $x-x_f$ (repère relatif), et le terme d’accélération venait annuler cette pseudo-force, le nouveau terme venant de la projection du poids qui se traduisait finalement par une force supplémentaire $Mgx_f/l$ . Un autre choix consistait à rester dans le référentiel du laboratoire, galiléen, où l’accélération s’écrivait toujours $\ddot x$ , mais l’angle était devenu $\frac{x-x_f}{l}$ , et donnait le même résultat.

Q29 : Trop peu de candidats ont reconnu ici la condition dictant que l’onde étudiée était en fait monochromatique.

Q31 : Les bilans fantaisistes d’énergie électromagnétique ont systématiquement été dépréciés. Les candidats ont souvent essayé dans cette question de plaquer un raisonnement de cours (où 3 ondes sont présentes) sur le cas d’étude (où 4 ondes sont présentes).

Q32 : Les justifications pour cette question sont souvent fantaisistes. Le facteur -1 n’est certainement pas dû au fait que « l’onde se propage vers les x décroissants ». Le facteur de phase est souvent très mal justifié, de même que le signe de son argument. Une rigueur minimale et l’application des notions de bases sur les ondes progressives auraient pourtant dû permettre aux candidats de donner une démonstration propre de cette formule.

Q46 : Le verbe « Vérifier » devait inciter les candidats à présenter une démonstration mathématique de la valeur de la moyenne et de l’écart-type d’une distribution Poissonienne. Une partie des candidats se sont fendu d’un simple « On sait que ... » et n’ont par conséquent pas reçu de points sur cette question.

Q47 : Cette question est l’occasion de rappeler que toute notation supplémentaire doit être définie par le candidat dans sa copie. Ainsi, la réponse $\Phi_R=R\Phi_0$ n’a été acceptée que lorsque le candidat expliquait que $R=1-T$ .

Q55 : On peut regretter que sur cette question classique de cinétique des gaz, les candidats qui l’ont abordée aient parfois oublié le facteur 2 dans l’expression du transfert de quantité de mouvement.

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Съвременна физика · Оптика · Фотони и фотоефект · Квантови модели · Интерференция на светлината

Предпоставки: Начална университетска подготовка

Оригинал в Архива: PC_2018_ulm.pdf · допълнителни данни: PC_2018_ulm_rapport.pdf