X-ENS 2020, Приемен изпит, физика и химия — Задача 2. Ondes internes.

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI, ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2020 — FILIÈRE PC - Épreuve n°5 — PHYSIQUE B (XEULC) · 22 април 2020 г.

Consignes

MERCREDI 22 AVRIL 2020 - 08h00 – 12h00

Durée : 4 heures

L’utilisation de calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

Ondes de gravité dans un fluide

Des ondes de gravité peuvent apparaître au sein d’un fluide stratifié, c’est-à-dire un fluide dont la masse volumique varie spatialement selon une direction particulière, généralement la verticale. Elles sont appelées ondes internes. Des ondes peuvent également apparaître à l’interface entre deux fluides de masses volumiques différentes et non miscibles. Elles sont dites ondes de surface. Les vagues à la surface d’un océan en sont une manifestation. Notons qu’il s’agit là d’une situation limite de la précédente.

Cette étude comprend deux parties qui peuvent être abordées de façon indépendante. La première s’intéresse aux ondes à l’interface eau/air, la seconde est consacrée aux ondes internes dans l’eau. Nous définissons le référentiel R(O,x,y,z)\mathcal{R}(\mathrm{O},x,y,z), supposé galiléen, tel que le champ de gravité s’exprime g⃗=−g u⃗y\vec{g} = -g\,\vec{u}_y. Nous restreindrons ces études à des situations spatialement bidimensionnelles, dans le plan vertical (O,x,y)(\mathrm{O},x,y).

En vue des applications numériques nous adoptons les valeurs suivantes : D=15 cmD = 15\ \mathrm{cm} , L=15 cmL = 15\ \mathrm{cm} et H=20 cmH = 20\ \mathrm{cm}. Ces grandeurs seront introduites et présentées dans la suite.

N.B. : Nous considérerons que le principe (ou théorème) d’ARCHIMÈDE reste applicable hors du domaine de la stricte statique des fluides.

Условие

La masse volumique de l’eau varie en fonction de la salinité, de la température et de la pression, ce qui conduit généralement à une stratification verticale du milieu océanique. Nous considérons ici que la masse volumique ρ0\rho_0 du milieu, en situation d’équilibre, varie selon la relation :

ρ0(y)=ρ0(0)−ρˉ yℓ(4)\rho_0(y) = \rho_0(0) - \bar{\rho}\,\frac{y}{\ell} \qquad (4)

La grandeur ρˉ\bar{\rho} représente la masse volumique moyenne (selon la verticale) et la grandeur ρ0(0)\rho_0(0) celle correspondant au fond océanique (y=0y = 0). La longueur caractéristique ℓ\ell est de l’ordre de 10710^7 m. Le plan (O,z,x)(\mathrm{O},z,x) du référentiel R(O,x,y,z)\mathcal{R}(\mathrm{O},x,y,z) est placé au niveau du fond océanique (se reporter à la figure (4)). Enfin, nous négligerons toute cause de dissipation de l’énergie mécanique.

Le traitement de la sous-partie suivante (questions (26), (27) et (28)) n’est pas indispensable à la suite de l’étude.

• Un cylindre homogène de centre de masse G, de diamètre D=2RD = 2R, de longueur L=DL = D et de masse volumique ρc\rho_{\mathrm{c}} (de valeur a priori différente de celle prise en partie (1)) trouve son équilibre, entre deux eaux, à une altitude Y0Y_0. Nous notons Y=Y0+uY = Y_0 + u l’ordonnée de son centre de masse G, la variable uu représentant l’écart à sa position d’équilibre. Nous supposons que son axe reste en permanence parallèle à l’axe (Oz)(\mathrm{O}z). Ce système est représenté sur la figure (4).

Deux schémas. À gauche, vue de face : axes x et y d’origine O au fond ; hauteur d’eau H jusqu’à la surface (« Air » au-dessus) ; cylindre de diamètre D et de centre G à l’ordonnée Y, étiqueté « Cylindre » ; « Eau ρ0(y) » ; vecteur g vers le bas. À droite, vue de côté : axes y et z d’origine O, cylindre rectangulaire de longueur L étiqueté « Cylindre », G, dans le « Canal » rempli d’« Eau ρ0(y) ».
FIGURE 4 – Objet cylindrique (ρc,D,L)(\rho_{\mathrm{c}}, D, L) immergé dans l’eau (ρ0(y))(\rho_0(y)). Ces figures ne sont pas à l’échelle. En particulier, la largeur du canal n’est que très légèrement supérieure à LL (l’écart est exagéré sur le schéma afin de le rendre visible).

26. Établir l’équation algébrique satisfaite par l’ordonnée Y0Y_0 ainsi que l’équation différentielle vérifiée par la variable uu. On fera apparaître la pulsation propre Ω0\Omega_0 (Ω0>0)(\Omega_0 > 0) des oscillations du cylindre que l’on exprimera en fonction des grandeurs gg, ℓ\ell, ρˉ\bar{\rho} et ρc\rho_{\mathrm{c}}. On considérera que l’action du fluide sur le cylindre est traduite simplement par la poussée d’ARCHIMÈDE.

Il sera avantageux de noter que la masse volumique de l’eau varie de façon affine avec l’altitude yy.

27. Dans le cas où Y0=H/2Y_0 = H/2, exprimer Ω02\Omega_0^2 en fonction de gg et ℓ\ell.

28. Calculer la valeur de la période T0T_0 associée à Ω0\Omega_0.

• Nous étudions maintenant la propagation des ondes internes dans le milieu océanique stratifié. Nous imaginons que ces ondes sont excitées à la pulsation ω\omega, par exemple par les oscillations verticales imposées à l’objet cylindrique immergé représenté figure (4). Dans la situation de référence, qui correspond à l’océan au repos, la vitesse du fluide est uniformément nulle et sa masse volumique varie selon la relation (4). L’excitation entraîne des variations de vitesse qui s’accompagnent de variations de la masse volumique et de la pression du fluide, par rapport à la situation de référence. Nous notons les champs correspondants de vitesse, de masse volumique et de pression, réponses à cette excitation, sous la forme :

{δv⃗(x,y,t)=δvx(x,y,t) u⃗x+δvy(x,y,t) u⃗yρ(x,y,t)=ρ0(y)+δρ(x,y,t)P(x,y,t)=P0(y)+δP(x,y,t)(5)\begin{cases} \delta\vec{v}(x,y,t) = \delta v_x(x,y,t)\,\vec{u}_x + \delta v_y(x,y,t)\,\vec{u}_y \\ \rho(x,y,t) = \rho_0(y) + \delta\rho(x,y,t) \\ P(x,y,t) = P_0(y) + \delta P(x,y,t) \end{cases} \qquad (5)

L’indice “0” se rapporte à la situation de référence. Nous recherchons chacune de ces variations sous la forme d’ondes planes harmoniques que nous écrivons en représentation complexe :

δψ=Aψexp⁡[i(ωt−kxx−kyy)](Aψ∈C, ω≥0, kx∈R, ky∈R)(6)\delta\psi = A_\psi \exp\left[i(\omega t - k_x x - k_y y)\right] \quad (A_\psi \in \mathbb{C},\ \omega \geq 0,\ k_x \in \mathbb{R},\ k_y \in \mathbb{R}) \qquad (6)

Enfin, nous considérons l’écoulement du fluide comme incompressible et parfait.

29. Représenter, sur un schéma, dans le cas où kx=2ky>0k_x = 2k_y > 0, la direction de propagation u⃗\vec{u} de l’onde. Faire ensuite apparaître les longueurs d’onde λx\lambda_x et λy\lambda_y en précisant comment elles sont obtenues.

• Nous admettons que les fonctions variations δψ\delta\psi sont solutions du système d’équations différentielles linéaires (au premier ordre par rapport à chacune des fonctions δψ\delta\psi) :

{(1)  ∂δvx∂x+∂δvy∂y=0(2)  ∂δρ∂t+δvy∂ρ0∂y=0(3)  ρˉ ∂δvx∂t=−∂δP∂x(4)  ρˉ ∂δvy∂t=−∂δP∂y−g δρ(7)\begin{cases} (1)\ \ \dfrac{\partial \delta v_x}{\partial x} + \dfrac{\partial \delta v_y}{\partial y} = 0 \\[1ex] (2)\ \ \dfrac{\partial \delta\rho}{\partial t} + \delta v_y \dfrac{\partial \rho_0}{\partial y} = 0 \\[1ex] (3)\ \ \bar{\rho}\,\dfrac{\partial \delta v_x}{\partial t} = -\dfrac{\partial \delta P}{\partial x} \\[1ex] (4)\ \ \bar{\rho}\,\dfrac{\partial \delta v_y}{\partial t} = -\dfrac{\partial \delta P}{\partial y} - g\,\delta\rho \end{cases} \qquad (7)

30. Préciser ce que traduit chacune de ces équations.

31. Introduire, dans le système différentiel (7), les fonctions sous leur forme donnée par l’équation (6) afin d’établir un système linéaire d’équations algébriques vérifié par les amplitudes complexes de ces fonctions.

32. Déduire de ce système d’équations la relation de dispersion liant ω\omega, kxk_x et kyk_y. Vérifier qu’elle peut s’écrire sous la forme :

ω2 (kx2+ky2)=α2kx2(8)\omega^2\,(k_x^2 + k_y^2) = \alpha^2 k_x^2 \qquad (8)

où α\alpha est une constante positive, propre au milieu stratifié, que l’on exprimera en fonction des grandeurs gg et ℓ\ell.

33. Écrire cette relation de dispersion en faisant apparaître l’angle θ\theta que forme le vecteur d’onde k⃗\vec{k} avec l’axe horizontal (Ox)(\mathrm{O}x).

34. Analyser cette relation de dispersion. On s’interrogera notamment sur la façon dont le vecteur d’onde k⃗\vec{k} est lié à la pulsation d’excitation ω\omega.

35. Exprimer, en faisant apparaître les composantes kxk_x et kyk_y, la vitesse de phase V⃗ϕ\vec{V}_\phi de ces ondes. Rappelons que cette vitesse est celle des plans de phase.

36. Exprimer, en faisant apparaître les composantes kxk_x et kyk_y, la vitesse de groupe V⃗g\vec{V}_{\mathrm{g}} de ces ondes. Nous admettrons que chacune de ses composantes s’exprime de la même manière que dans le cas unidimensionnel, mais avec la composante correspondante du vecteur d’onde.

Cette vitesse est celle de propagation de l’énergie. Elle définit une direction orientée qui est l’analogue de ce que représente un rayon lumineux en optique.

37. Établir que les vitesses de phase et de groupe sont orthogonales. Établir que leurs composantes selon l’axe (Ox)(\mathrm{O}x) sont de même signe. En s’appuyant sur la première équation du système (7), montrer que la vitesse δv⃗\delta\vec{v} est orthogonale au vecteur d’onde k⃗\vec{k}.

38. Représenter, sur un schéma, la vitesse de groupe, la vitesse de phase ainsi que la direction de la vitesse δv⃗\delta\vec{v}, dans le cas où kx=2ky>0k_x = 2k_y > 0.

• La figure (5) représente une cartographie1^{1} spatiale instantanée du champ ∂δρ/∂y\partial\delta\rho/\partial y, en régime établi. La valeur va croissant depuis la couleur bleue (négatif intense) vers la couleur rouge (positif intense) en passant par le niveau zéro en jaune-vert. Dans cette expérience, le milieu est linéairement stratifié et tel que la longueur ℓ\ell introduite dans la présentation de la partie (2) est égale à 12 m. Ce milieu est excité harmoniquement à la pulsation ω\omega par les oscillations verticales imposées à un cylindre d’axe perpendiculaire au plan de la figure. Ce cylindre est situé au centre de la figure.

39. Commenter cette cartographie. Le champ représenté peut-il être décrit par une unique onde plane (une argumentation est attendue) ?

40. Estimer, à partir de la cartographie représentée figure (5), la valeur de la pulsation excitatrice ω\omega.

41. Les ondes internes peuvent interagir avec le relief sous-marin et subir des réflexions. Représenter, sur un schéma (inspiré de la figure (6)), le vecteur d’onde et la vitesse de groupe (orientant l’équivalent du rayon lumineux) d’une onde, avant puis après sa réflexion sur une paroi verticale. Le vecteur d’onde incident est tel que kx=2ky>0k_x = 2k_y > 0. Nous admettrons que l’onde réfléchie vérifie la relation de dispersion de l’onde incidente.

1^{1} Pour réaliser cette cartographie on place une grille derrière la cuve et on photographie son image vue depuis le devant de la cuve, cylindre et fluide étant au repos. On photographie ensuite à nouveau cette grille, à un instant donné, lorsque les oscillations sont établies. C’est à partir de la comparaison de ces deux photographies que l’on accède au gradient de masse volumique, via le gradient d’indice optique qu’il induit.

Carte en fausses couleurs dans le plan (x, y) : fond jaune-vert ; depuis le centre partent quatre faisceaux obliques en forme de X, alternant bandes rouges et bleu clair, avec des taches bleu foncé et rouge foncé près du centre où se trouve le cylindre ; axes x et y en pointillés.
FIGURE 5 – Cartographie spatiale instantanée du champ ∂δρ/∂y\partial\delta\rho/\partial y d’un milieu verticalement et linéairement stratifié (ℓ=12\ell = 12 m), excité par les oscillations verticales (ω)(\omega) d’un cylindre (situé au centre de la figure). La valeur est codée par la couleur allant du bleu (négatif extrême) au rouge (positif extrême).
Quadrillage en pointillés dans le plan (x, y) d’origine 0 : la moitié gauche, blanche, est étiquetée « Océan » ; la moitié droite, grisée, est étiquetée « Obstacle » et forme une paroi verticale.
FIGURE 6 – Relief sous-marin formant une falaise verticale.

42. Le vecteur d’onde incident est toujours tel que kx=2ky>0k_x = 2k_y > 0 mais le plan représentant la paroi sous-marine a maintenant pour équation cartésienne y−2x=Cstey - 2x = \mathrm{Cste}. Représenter, sur un schéma inspiré de la figure (6) et adapté à cette nouvelle situation, deux rayons voisins parallèles incidents puis réfléchis (rappelons encore qu’un “rayon” est orienté par la vitesse de groupe). Analyser cette situation d’un point de vue énergétique.

Решение

Внимание: Непълно решение

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Оригинал в Архива: PC_2020.pdf