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X-ENS 2021, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 2. Courbe de saturation de l’eau

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2021 — FILIERE PC - Epreuve n° 7 — PHYSIQUE C (U) · 15 април 2021 г.

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JEUDI 15 AVRIL 2021, 08h00 - 14h00

Durée : 6 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

L’eau dans l’atmosphère

Ce sujet comprend 22 pages numérotées de 1 à 22.

La présence d’eau dans l’atmosphère joue un rôle majeur dans le climat terrestre. L’eau est en effet le principal gaz à effet de serre de l’atmosphère terrestre. D’autre part, des effets thermiques importants sont associés aux changements de phase de l’eau. Enfin, les nuages modifient significativement l’albédo de l’atmosphère. Dans ce problème, nous étudierons uniquement des conséquences des deux premiers effets, et nous n’étudierons pas explicitement les nuages.

Le but de ce problème est de comprendre le profil vertical de température dans l’atmosphère, ainsi que son évolution avec la modification de la concentration en dioxyde de carbone dans l’atmosphère. Nous utiliserons des modèles très simplifiés, mais qui permettent de comprendre les mécanismes physiques en jeu, ainsi que de déterminer des valeurs numériques approchées.

Nous considérons pour simplifier tout au long de ce sujet que l’eau dans l’atmosphère est uniquement présente sous forme de vapeur et sous forme liquide : la présence de cristaux de glace est négligée.

Consignes :

Toutes les réponses doivent être justifiées de manière précise et concise. Il faut citer les lois physiques utilisées. Les réponses aux questions doivent être autant que possible appuyées sur les documents et des applications numériques

Lorsqu’un document est utilisé, il faut citer le numéro du document et expliquer comment l’information est extraite de celui-ci. Pour les textes, il faut mentionner les lignes où se trouvent les informations. Pour les courbes, il faut donner les valeurs lues sur les courbes avant d’utiliser ces valeurs dans les raisonnements.

Il faut définir les notations et les abréviations qui ne le sont pas dans l’énoncé.

Les calculatrices sont strictement interdites. Sauf mention contraire, les applications numériques doivent être effectuées avec 1 chiffre significatif.

Plan :

Des données sont fournies en partie 1. Il s’agit de représentations de fonctions utiles (partie 1.1), de données numériques (partie 1.2), et d’indications concernant l’identité thermodynamique (partie 1.3) et le rayonnement thermique (partie 1.4).

La courbe de saturation de l’eau est calculée en partie 2. Des documents utiles pour la suite sont présentés en partie 3. Les profils verticaux de température, pression, concentration sont étudiés en partie 4, en négligeant tout effet radiatif. La partie 5 discute des effets radiatifs, d’abord en négligeant la convection puis en étudiant le couplage entre les effets radiatifs et de convection.

Ces différentes parties ne sont pas indépendantes et il est vivement conseillé de traiter les questions dans l’ordre proposé. Cependant, le début de chacune des parties 4.1, 4.4, 5.1 et 5.2 est indépendant des questions précédentes.

Условие

Le but de cette courte partie est d’obtenir la courbe de saturation de l’eau en fonction de la température.

Nous posons $L(T)$ l’enthalpie massique de vaporisation, qui est définie par :

L(T) = h_v(T) - h_l(T), \qquad (6)

où $h_v$ est l’enthalpie massique de la vapeur d’eau, $h_l$ l’enthalpie massique de l’eau liquide et $T$ la température. De manière générale, nous utilisons l’indice $v$ pour la vapeur d’eau, et l’indice $l$ pour l’eau liquide. Nous notons $\zeta = h - Ts$ , avec $s$ l’entropie massique.

Q1 Écrire la relation entre les variations d’entropie et d’enthalpie associées à une transition de phase.

Montrer que si les phases liquide et vapeur sont à l’équilibre thermodynamique, alors $\zeta_l = \zeta_v$ .

Q2 Montrer d’autre part que $\zeta$ vérifie :

\mathrm{d}\zeta = -s\mathrm{d}T + v\mathrm{d}P, \qquad (7)

où $v$ est le volume massique.

Q3 La pression de vapeur saturante de l’eau, notée $e_s(T)$ , est définie comme la pression partielle de vapeur d’eau lorsque l’équilibre thermodynamique liquide-vapeur est réalisé.

Déduire des questions précédentes une relation entre $L$ , $T$ , $v_v$ , $v_l$ et $e_s(T)$ .

Q4 Exprimer $L(T)$ en fonction de $L(T_m)$ , où $T_m = 273\ \mathrm{K}$ est une température fixée, de $T$ et des capacités thermiques pertinentes.

Application numérique : estimer la variation de $L$ entre $-40\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ et $+40\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ , et montrer qu’elle est négligeable devant $L(T_m)$ .

Q5 Montrer que pour $T \in [-40\ {}^{\circ}\mathrm{C}, 40\ {}^{\circ}\mathrm{C}]$ , la pression de vapeur saturante $e_s$ vérifie :

e_s = e_m \exp\left(\frac{M_e L}{R}\left(\frac{1}{T_m} - \frac{1}{T}\right)\right), \qquad (8)

où $M_e = 18\ \mathrm{g \cdot mol^{-1}}$ est la masse molaire de l’eau, $R = 8{,}31\ \mathrm{J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}}$ la constante des gaz parfaits, et où $e_m$ est à définir. Préciser la (les) approximation(s) effectuée(s).

Q6 La courbe de la pression de vapeur saturante déduite de l’équation (8) est tracée en figure 3. Décrire cette courbe en deux phrases maximum.

Courbe de la pression de vapeur saturante (hPa, échelle logarithmique de 10^−1 à 10^2) en fonction de la température (°C, de −40 à 40) ; la courbe croît d’environ 0,2 hPa à −40 °C jusqu’à environ 70 hPa à 40 °C. — Figure 3 – Pression de vapeur saturante pour l’eau en fonction de la température.

Решение

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Le corrigé officiel n’est pas disponible dans l’archive.

Références

[1] K. N. Liou, An Introduction to Atmospheric Radiation, Academic Press (2002)

[2] Geoffrey K. Vallis, Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics, Cambridge University Press (2017)

[3] Bernard Diu, Claudine Guthmann, Bernard Roulet et Danielle Lederer, Thermodynamique, Hermann (2007)

[4] Syukuro Manabe and Richard T. Wetherald, Thermal Equilibrium of the Atmosphere with a Given Distribution of Relative Humidity, Journal of the Atmospheric Sciences, volume 24, no. 3, pages 241–259 (1967)

[5] Jean-Louis Dufresne et Jacques Treiner, L’effet de serre atmosphérique : plus subtil qu’on ne le croit !, Bulletin de l’Union des Physiciens, volume 105, pages 821–840 (2011)

[6] Wenyi Zhong and Joanna D. Haigh, The greenhouse effect and carbon dioxide, Weather, volume 68, no. 4, pages 100–105 (2013)

[7] Stephen E. Schwartz, Ressource Letter GECC-1 : The Greenhouse Effect and Climate Change : Earth’s Natural Greenhouse Effect, American Journal of Physics, volume 86(8), pages 565–576 (2018)

[8] Stephen E. Schwartz, Ressource Letter GECC-2 : The Greenhouse Effect and Climate Change : The intensified Greenhouse Effect, American Journal of Physics, volume 86(9), pages 645–656 (2018)

[9] David Archer, Global Warming : Understanding the Forecast, John Wiley & Sons

[10] M. Diallo, B. Legras, E. Ray, A. Engel, and J. A. Añel, Global distribution of CO $_2$ in the upper troposphere and stratosphere, Atmosopheric Chemistry and Physics, volume 17, pages 3861–3878 (2017)

[11] Changements climatiques 2014 : Rapport de synthèse. Contribution des Groupes de travail I, II et III au cinquième Rapport d’évaluation du Groupe d’experts intergouvernemental sur l’évolution du climat [Sous la direction de l’équipe de rédaction principale, R.K. Pachauri et L.A. Meyer]. GIEC, Genève, Suisse https://www.ipcc.ch/site/assets/uploads/2018/02/SYR_AR5_FINAL_full_fr.pdf

Fin du sujet

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