X-ENS 2023, Приемен изпит, математика и физика — Задача 2. Rendement énergétique d’une machine thermique à sa puissance maximale

Premier modèle : transfert thermique

23. Nous considérons une machine dans laquelle l’énergie est produite par une source solide à la température $T_1$. Cette énergie est transmise à un fluide caloporteur de température $T_3$, avec $T_3 < T_1$, qui circule en contact avec la source solide. On suppose $T_1$ et $T_3$ uniformes et indépendantes du temps. On note $Q$ l’énergie fournie par la source solide au fluide caloporteur pendant la durée $\tau$ d’un cycle. Donner l’expression de $Q$ en fonction de $\tau$, $T_1$ et $T_3$ et de la conductance thermique $G_{\mathrm{th}}$ de l’interface, supposée fixée.

24. Le fluide caloporteur constitue la source chaude d’une machine thermique ditherme dont la source froide est à la température $T_2$. Il restitue à cette machine thermique l’énergie $Q$ fournie par la source solide. On suppose par ailleurs que cette machine thermique fonctionne à son rendement maximal. En déduire la dépendance du travail $W$ qu’elle fournit en fonction de $\tau$, $T_3$, $T_1$, $T_2$ et $G_{\mathrm{th}}$

25. Tracer l’allure de la variation de la puissance extraite en fonction de $T_3$ pour $T_1$ et $T_2$ fixés.

26. Tracer l’allure de la variation du rendement $\eta$ en fonction de $T_3$ pour $T_1$ et $T_2$ fixés. Que vaut la puissance extraite lorsque le rendement est maximal ? Commenter ce résultat.

27. Déterminer la valeur de $T_3$ qui maximise la puissance extraite de la machine thermique pour $T_1$ et $T_2$ fixés. On exprimera cette valeur optimale de $T_3$ en fonction de $T_1$ et $T_2$.

28. On note $\eta_1$ la valeur du rendement correspondant à cette valeur de $T_3$. Exprimer $\eta_1$ en fonction de $T_1$ et $T_2$.

29. Exprimer $\eta_1$ en fonction de $\eta_0$, déterminé à la question 22, et représenter sa variation. Comment cette expression se simplifie-t-elle dans la limite où $\eta_0 \ll 1$ ?

Deuxième modèle : création d’entropie

30. On revient au cas général d’une machine thermique cyclique ditherme dont les sources chaude et froide ont les températures respectives $T_1$ et $T_2$. On note toujours $Q$ l’énergie fournie par la source chaude pendant la durée $\tau$ d’un cycle. On suppose maintenant qu’une entropie $S_{\mathrm{c}} = \Sigma/\tau$ est créée au cours du cycle, où $\Sigma$ est un coefficient indépendant de $\tau$. Commenter cette modélisation. Quel est le signe de $\Sigma$ ?

31. Déterminer le travail $W$ fourni pendant un cycle en fonction de $Q$, $T_1$, $T_2$, $\Sigma$ et $\tau$.

32. Montrer que pour $Q$ fixé, la puissance est maximale pour une valeur de $\tau$ qu’on déterminera, et qu’on notera $\tau_2$.

33. Calculer le rendement de la machine thermique lorsque la puissance est maximale. On le notera $\eta_2$.

Discussion

34. Comparer les valeurs des rendements à puissance maximale prédites par ces deux modèles. Dans quelle limite ces prédictions coïncident-elles ? Cette limite correspond-elle à une irréversibilité forte ou faible ?

35. Dans le cadre du premier modèle, déterminer l’expression de l’entropie créée au cours d’un cycle en fonction de $Q$, $G_{\mathrm{th}}$, $\tau$ et $T_1$. Montrer qu’elle est proportionnelle à $1/\tau$ dans une limite qu’on précisera. Commenter ce résultat.

36. Le coût d’une centrale thermique provient d’une part du combustible produisant l’énergie, d’autre part de la construction de la centrale et de son fonctionnement. On considère une situation où l’un de ces deux coûts est très supérieur à l’autre. D’un point de vue économique, dans quel cas a-t-on intérêt à optimiser le rendement, et dans quel cas a-t-on intérêt à maximiser la puissance ?

37. Le réacteur Sizewell B est le plus grand réacteur nucléaire à eau pressurisée construit au Royaume-Uni, qui couvre environ 3% des besoins d’électricité du pays. Les températures des sources chaudes et froides pour ce réacteur sont $T_1 = 581$ K et $T_2 = 288$ K. Son rendement est $\eta = 0{,}36$. Commenter cette valeur à la lumière des résultats obtenus dans ce problème.